Bài 1 trang 29 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Kiểm tra xem mỗi cặp số (x;y) đã cho có là nghiệm của hệ bất phương trình tương ứng không.

a) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge  - 6\\x + 4y > 4\end{array} \right.\)  \(\left( {0;2} \right),\left( {1;0} \right)\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y \le  - 3\\ - 3x + 5y \ge  - 12\end{array} \right.\)  \(\left( { - 1; - 3} \right),\left( {0; - 3} \right)\)

Lời giải:

a) Thay \(x = 0,y = 2\) vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge  - 6\\x + 4y > 4\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}3.0 + 2.2 \ge  - 6\\0 + 4.2 > 4\end{array} \right.\) (Đúng)

Thay \(x = 1,y = 0\) vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge  - 6\\x + 4y > 4\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}3.1 + 2.0 \ge  - 6\\1 + 4.0 > 4\left( {Sai} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( {0;2} \right)\) là nghiệm của hệ còn \(\left( {1;0} \right)\) không là nghiệm.

b) Thay \(x =  - 1,y =  - 3\) vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y \le  - 3\\ - 3x + 5y \ge  - 12\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}4.\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) \le  - 3\\ - 3\left( { - 1} \right) + 5.\left( { - 3} \right) \ge  - 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 7 \le  - 3\\ - 12 \ge  - 12\end{array} \right.\) (Đúng)

Thay \(x = 0,y =  - 3\) vào hệ \(\left\{ \begin{array}{l}4x + y \le  - 3\\ - 3x + 5y \ge  - 12\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}4.0 + \left( { - 3} \right) \le  - 3\\ - 3.0 + 5.\left( { - 3} \right) \ge  - 12\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 \le  - 3\\ - 15 \ge  - 12\left( {Sai} \right)\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( { - 1; - 3} \right)\) là nghiệm của hệ còn \(\left( {0; - 3} \right)\) không là nghiệm.

Bài 2 trang 29 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y <  - 4\\y \ge x + 5\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 2y > 8\\x \ge 0\\y \le 0\end{array} \right.\)

Lời giải:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y <  - 4\\y \ge x + 5\end{array} \right.\)⇔\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y <  - 4\\ - x + y \ge 5\end{array} \right.\)

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

d1: x + 2y = – 4;

d2: – x + y = 5.

+ Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không gạch sọc trên hình bao gồm một phần đường biên d₂, không bao gồm đường biên d₁.

b) \(\left\{ \begin{array}{l}4x - 2y > 8\\x \ge 0\\y \le 0\end{array} \right.\)

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

d1: 4x – 2y = 8;

d2: x = 0 là trục tung;

d3: y = 0 là trục hoành.

+ Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không gạch sọc trên hình bao gồm một phần trục tung, trục hoành và không bao gồm đường thẳng d₁.

Bài 3 trang 29 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Miền không bị gạch ở mỗi Hình 12a, 12b là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào cho ở dưới đây?

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 2\\x \ge  - 3\\y \ge  - 1\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}y \le x\\x \le 0\\y \ge  - 3\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}y \ge  - x + 1\\x \le 2\\y \le 1\end{array} \right.\)

Lời giải:

* Quan sát Hình 12a, đặt tên các đường thẳng như trên hình:

+ Đường thẳng d₁ đi qua điểm (2; 0) và song song với trục tung, do đó phương trình đường thẳng d₁: x = 2.

+ Đường thẳng d₂ đi qua điểm (1; 0) và song song với trục hoành, do đó phương trình đường thẳng d₂: y = 1.

+ Giả sử d₃: y = ax + b (a ≠ 0)

Ta thấy đường thẳng d₃ đi qua 2 điểm (0; 1) và (1; 0). Thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình ta được: b = 1 và a + b = 0. Suy ra a = – 1 (t/m) và b = 1.

Khi đó, d₃: y = – x + 1. 

Do đó, ta thấy phần không gạch sọc trên hình chính là miền nghiệm của hệ c)

\(\left\{ \begin{array}{l}y \ge  - x + 1\\x \le 2\\y \le 1\end{array} \right.\)

* Quan sát Hình 12b, đặt tên các đường thẳng như hình:

+ Đường thẳng d₄ đi qua điểm (– 3; 0) và song song với trục tung nên d₄: x = – 3.

+ Đường thẳng d₅ đi qua điểm (0; – 1) và song song với trục hoành nên d₅: y = – 1.

+ Đường thẳng d₆ đi qua hai điểm (2; 0) và (0; 2).

Giả sử d₆: y = ax + b (a ≠ 0)

Thay tọa độ các điểm (2; 0) và (0; 2) vào phương trình đường thẳng ta tìm được a = – 1 (t/m) và b = 2.

Khi đó, d₆: y = – x + 2 ⇔ x + y = 2.

Do đó, ta thấy phần không gạch sọc trên hình chính là miền nghiệm của hệ a) 

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 2\\x \ge  - 3\\y \ge  - 1\end{array} \right.\)

Bài 4 trang 29 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc không quá 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.

Lời giải: 

Gọi x, y lần lượt là số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được cao nhất. (Điều kiện: \(\ {x,y \in \mathbb{N}} \))

Trong một ngày thị trường tiêu thụ tối đa 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai nên ta có: 0 ≤ x ≤ 200; 0 ≤ y ≤ 240.

Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 24 nghìn và một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn nên tổng số tiền lãi khi bán mũ là T = 24x + 15y.

Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong một giờ phân xưởng làm được 60 chiếc nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ hai là \(\frac{1}{{60}}\)(giờ).

Thời gian làm ra một chiếc kiểu mũ thứ nhất nhiều gấp hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai nên thời gian để làm một chiếc mũ kiểu thứ nhất là 2.\(\frac{1}{{60}}\) = \(\frac{1}{{30}}\)(giờ).