Bài 1 trang 87 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Cho ba điểm M, N, P. Vecto $\overrightarrow u  = \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}$ bằng vecto nào sau đây?

A. $\overrightarrow {PN}$

B. $\overrightarrow {PM}$

C. $\overrightarrow {MP}$

D. $\overrightarrow {NM}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

Với ba điểm M, N, P bất kì ta có: $$\overrightarrow u  = \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {MP}$$

Bài 2 trang 87 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Cho ba điểm D, E, G. Vecto $\overrightarrow v  = \overrightarrow {DE}  + ( - \overrightarrow {DG} )$ bằng vecto nào sau đây?

A. $\overrightarrow {EG}$

B. $\overrightarrow {GE}$

C. $\overrightarrow {GD}$

D. $\overrightarrow {ED}$

Lời giải:

Đáp án đúng là: B.

Với ba điểm D, E, G bất kì ta có: $\overrightarrow {GD}  =  - \overrightarrow {DG}$

$\Rightarrow \overrightarrow v  = \overrightarrow {DE}  + ( - \overrightarrow {DG} ) = \overrightarrow {DE}  + \overrightarrow {GD}$

$\Rightarrow \overrightarrow v  = \overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {GE}$ (tính chất giao hóan)

Bài 3 trang 87 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh:

a) $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}$

b) $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0$

Lời giải:

a)$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {CD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} \end{array}$

(luôn đúng)

b) $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0$

Ta có:$\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA} )\\ = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CA}  = \overrightarrow 0 \end{array}$

Chú ý khi giải

+) Hiệu hai vecto chung gốc: $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (suy ra từ tổng $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}$)

+) Với 4 điểm A, B, C, D bất kì ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {AA}  = \overrightarrow 0$

Bài 4 trang 87 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Cho hình hình hành ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Các khảng định sau đúng hay sai?

a)  $|\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} |\; = \;|\overrightarrow {AC} |$

b) $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {CB}$

c) $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}$

Lời giải:

a)   Do ABCD là hình bình hành nên: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$

 $\Rightarrow |\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} |\; = \;|\overrightarrow {AC} |$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) Ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \ne \overrightarrow {CB}$

Vậy mệnh đề b) này sai.

c) Ta có: $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OC} =  \overrightarrow {0} \Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {CB} =\overrightarrow {0}\Leftrightarrow 2\overrightarrow {CB} =\overrightarrow {0}$

Vậy mệnh đề c) này sai.

Bài 5 trang 87 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Cho đường tròn tâm O. Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn. Tìm điều kiện cần và đủ để hai vecto $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OB}$ đối nhau.

Lời giải:

Hai vecto $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OB}$ đối nhau $\Leftrightarrow$ hai tia OA, OB đối nhau và OA = OB.

$\Leftrightarrow$ O là trung điểm của AB hay AB là đường kính của đường tròn (O).

Vậy điều kiện cần và đủ để hai vecto $\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OB}$ đối nhau là AB là đường kính của đường tròn (O).

Bài 6 trang 87 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh $\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD}$ với mỗi điểm M trong mặt phẳng.

Phương pháp:

Sử dụng vecto đối đưa về tổng hai vecto.

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow {AM}  =  - \overrightarrow {MA} ,\;\overrightarrow {DM}  =  - \overrightarrow {MD}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB}$

Tương tự ta có: $\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {DC}$

Mà $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}$(do ABCD là hình bình hành)

$\Rightarrow \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD}$ (đpcm)

Bài 7 trang 87 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Tính độ dài các vecto sau:

a) $\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC}$

b) $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}$

c) $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}$ với O là giao điểm của AC và BD.

Lời giải:

a) Do ABCD cũng là một hình bình hành nên $\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {DB}$

$\Rightarrow \;|\overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} |\; = \;|\overrightarrow {DB} |\; = DB = a\sqrt 2$

b) Ta có: $\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AB}$ $\Rightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB = a\sqrt 2$

c) Ta có: $\overrightarrow {DO}  = \overrightarrow {OB}$

$\Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {DO}  = \overrightarrow {DO}  + \overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {DA}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {DA} } \right| = DA = a.$

 Bài 8 trang 87 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Cho ba lực $\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {OA} ,\;\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OB}$ và $\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {OC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm O và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}}$đều là 120 N và $\widehat {AOB} = {120^o}$. Tìm cường độ và hướng của lực $\overrightarrow {{F_3}} .$

Lời giải:

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành OADB.

Khi đó ta có: $\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OD}$

Ta có: OA = OB = 120 suy ra tứ giác OADB là hình thoi

$\Rightarrow \widehat {AOD} = \widehat {BOD} = \frac{{{{120}^o}}}{2} = {60^o}$

$\Rightarrow \Delta AOD$ đều (do OA = AD và $\widehat {AOD} = {60^o}$)

$\Rightarrow OD = OA = 120$

Mặt khác: Do vật đứng yên nên $\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}}  + \;\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \;\overrightarrow {{F_3}}  =  - (\overrightarrow {{F_1}}  + \;\overrightarrow {{F_2}} ) =  - \overrightarrow {OD}$

Suy ra vecto $\overrightarrow {OC}$ là vecto đối của vecto $\overrightarrow {OD}$

Lại có: $\widehat {COA} = {180^o} - \widehat {AOD} = {120^o}$.Tương tự: \(\widehat {COB} = {120^o}\

Vậy cường độ của lực $\overrightarrow {{F_3}}$là 120 N, tạo với lực$\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}}$ góc ${120^o}$.

Bài 9 trang 87 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Một dòng sông chảy từ phía bắc xuống phía nam với vận tốc là 10 km/h. Một chiếc ca nô chuyển động từ phía đông sang phía tây với vận tốc 40 km/h so với mặt nước. Tìm vận tốc của ca nô so với bờ sông.

Lời giải:

Gọi O là vị trí của ca nô.

Vẽ $\overrightarrow {OA}$ là vận tốc dòng nước (chảy từ phía bắc xuống phía nam),

$\overrightarrow {OB}$ là vận tốc riêng của ca nô (chuyển động từ phía đông sang phía tây)

Khi đó vecto vận tốc của ca nô so với bờ sông là vecto $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}$

Gọi C là đỉnh thứ tư của hình bình hành OACB, ta có: $\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}$

Xét tam giác OBC vuông tại B ta có:

BC = 40; BC = OA = 10.

$\Rightarrow OC = \sqrt {O{B^2} + B{C^2}}  = 10\sqrt {17}$

Vậy vận tốc của ca nô so với bờ sông là $10\sqrt {17}$ km/h.

Giaibaitap.me