Bài 9 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

a) Giả sử phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁ và x₂.

Chứng minh rằng:  ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

b) Áp dụng : phân tích các đa thức sau thành nhân tử

\(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - 2{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}4;\)

\(g\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {\sqrt 2 {\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}2\left( {\sqrt 2  + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2\)

Giải

a) Áp dụng định lý Vi-ét, ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr
{x_1}.{x_2} = {c \over a} \hfill \cr} \right.\)

Do đó:

\(\eqalign{
& a{x^2} + {\rm{ }}bx + c = 0 = a({x^2} + {b \over a}x + {c \over a}) \cr&= a{\rm{[}}{{{x}}^2} - ({x_1} + {x_2})x + {x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr
& = a{\rm{[x(x}}\,{\rm{ - }}\,{{\rm{x}}_1}) - {x_2}(x\, - \,{x_1}){\rm{]}} = a(x - {x_1})(x - {x_2}) \cr} \)

b) Ta có: 

\(f(x) = - 2{x^2} - 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr
x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(f(x) =  - 2(x + 4)(x - {1 \over 2}) = (x + 4)(1 - 2x)\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& g(x) = (\sqrt 2 + 1){x^2} - 2(\sqrt 2 + 1)x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \sqrt 2 \hfill \cr
x = {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 + 1}} \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Do đó: \(g(x) = (\sqrt 2  + 1)(x - \sqrt 2 )(x - {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2  + 1}}) \)

                     \(= (x - \sqrt 2 ){\rm{[}}(\sqrt 2  + 1)x\, - \sqrt 2 {\rm{]}}\)

Bài 10 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Không giải phương trình x² - 2x - 15 = 0, hãy tính:

a) Tổng các bình phương hai nghiệm của nó.

b) Tổng các lập phương hai nghiệm của nó.

c) Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.

Hướng dẫn: \(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2.\)

Giải

Vì \(ac = -15 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu. 

Theo định lý Vi-ét, ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} = 2 \hfill \cr
{x_1}{x_2} = {c \over a} = - 15 \hfill \cr} \right.\)

a) Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} = {2^2} - 2( - 15) = 34\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& x_1^3 + x_2^3 = ({x_1} + {x_2})(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}) \cr
& = ({x_1} + {x_2}){\rm{[}}{({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr&= 2(4 - 3.(-15)) = 98 \cr} \)

c) Ta có:

\(x_1^4 + x_2^4 = {(x_1^2 + x_2^2)^2} - 2x_1^2x_2^2\)

\(= {34^2} - 2( - 15)^2 = 706\)

Bài 11 trang 79 SGK Đại số 10 nâng cao

Trong các khẳng định sau đây, có duy nhất một khẳng định đúng. Hãy chọn khẳng định đúng đó

Phương trình \((\sqrt 3  - 1){x^4} + {x^2} + 2(1 - \sqrt 3 ) = 0\)

(A) Vô nghiệm

(B) Có hai nghiệm \(x =  \pm {1 \over 2}\sqrt {(1 + \sqrt 3 )(\sqrt {33 - 16\sqrt 3 }  - 1)} \)

(C) Có bốn nghiệm \(x =  \pm {1 \over 2}\sqrt {(1 + \sqrt 3 )(\sqrt {33 - 16\sqrt 3 }  - 1)} \) và \(x =  \pm \sqrt 3 \)

(D) Có hai nghiệm \(x =  \pm \sqrt 3 \)

Giải

Đặt y = x²

Phương trình bậc hai tương ứng có ac < 0 nên nó có hai nghiệm trái dấu,

Suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm đối nhau.

Từ đó, ta loại các phươn án (A) và (C). Phương án (D) cũng bị loại bằng cách thử trực tiếp.

Chọn (B).

Bài 12 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số):

a) 2(m + 1)x - m(x - 1) = 2m + 3;

b) m²(x - 1) + 3mx = (m² + 3)x - 1;

c) 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1);

d) m²x + 6 = 4x + 3m.

Giải

a) 2(m + 1)x - m(x - 1) = 2m + 3;

⇔ (2m + 2)x – mx = 2m + 3 – m

⇔ (m + 2)x = m + 3

+ Nếu m ≠ -2 thì phương trình có nghiệm \(x = {{m + 3} \over {m + 2}}\)

+ Nếu m = - 2 thì 0x = 1 phương trình vô nghiệm

b) m²(x - 1) + 3mx = (m² + 3)x – 1

⇔ m²x – m² + 3mx = m²x + 3x – 1

⇔ 3(m – 1)x = m² – 1

+ Nếu m ≠ 1 thì phương trình có nghiệm: \(x = {{{m^2} - 1} \over {3(m - 1)}} = {{m + 1} \over 3}\)

+ Nếu m = 1 thì 0x = 0. Phương trình có tập nghiệm \(S =\mathbb R\)

c) 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1)

⇔ (3m + 1)x = 5m + 1

+ Nếu m ≠ \( - {1 \over 3}\) thì phương trình có nghiệm \(x = {{5m + 1} \over {3m + 1}}\)

+ Nếu m = \( - {1 \over 3}\) thì \(0x =  - {2 \over 3}\) , phương trình vô nghiệm

d) m²x + 6 = 4x + 3m

⇔ (m² – 4)x = 3(m – 2)

+ Nếu m² – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2 thì phương trình có nghiệm: \(x = {{3(m - 2)} \over {{m^2} - 4}} = {3 \over {m + 2}}\)

+ Nếu m  = 2 thì 0x = 0, ta có \(S =\mathbb R\)

+ Nếu m = -2 thì 0x = -12; S = Ø

Giaibaitap.me