Bài 7 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao

Trong mặt phẳng tọa độ, với mỗi số $m \ne 0$ , xét hai điểm ${M_1}( - 4\,;\,m);\,{M_2}(4\,;\,{{16} \over m})$

a) Viết phương  trình đường thẳng M₁M₂.

b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng M₁M₂.

c) Chứng tỏ rằng đường thẳng M₁M₂  luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

d) Lấy các điểm ${A_1}( - 4\,;\,0),\,{A_2}(4\,;\,0)$ . Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng ${A_1}{M_2},\,{A_2}{M_1}$ .

e) Chứng minh rằng khi m thay đổi, I luôn luôn nằm trên một  elip (E) cố định. Xác định tọa độ tiêu điểm của elip đó.

Giải

a) Ta có $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {8\,;\,{{16} \over m} - m} \right) = \left( {8\,;\,{{16 - {m^2}} \over m}} \right)$

Phương trình đường thẳng ${M_1}{M_2}\,\,:\,\,{{x + 4} \over 8} = {{y - m} \over {{{16 - {m^2}} \over m}}}$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \,\,\left( {16 - {m^2}} \right).\left( {x + 4} \right) = 8m\left( {y - m} \right) \cr & \Leftrightarrow \,\,\left( {16 - {m^2}} \right).x - 8my + 64 + 4{m^2} = 0 \cr}$                               

b) Khoảng cách từ O đến đường thẳng M₁M₂  là

$d(O\,,\,{M_1}{M_2}) = {{64 + 4{m^2}} \over {\sqrt {{{\left( {16 - {m^2}} \right)}^2} + 64{m^2}} }} = {{4\left( {{m^2} + 16} \right)} \over {\sqrt {{{\left( {{m^2} + 16} \right)}^2}} }} = 4$           

c) Gọi (C) là đường tròn tâm O bán kính R = 4 thì M₁M₂ tiếp xúc với đường tròn cố định (C).

d) Phương trình đường thẳng A₁M₂ là

${{x + 4} \over 8} = {{y - 0} \over {{{16} \over m}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2x - my + 8 = 0$                          

Phương trình đường thẳng A₂M₁ là

${{x - 4} \over { - 8}} = {{y - 0} \over m}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,mx + 8y - 4m = 0$                       

Tọa độ giao điểm I của A₁M₂ và A₂M₁ là nghiệm của  hệ phương trình

$\left\{ \matrix{ 2x - my + 8 = 0 \hfill \cr mx + 8y - 4m = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,(*)\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{ x = {{4({m^2} - 16)} \over {{m^2} + 16}} \hfill \cr y = {{16m} \over {{m^2} + 16}} \hfill \cr} \right.$            

Vậy $I\left( {{{4({m^2} - 16)} \over {{m^2} + 16}}\,;\,{{16m} \over {{m^2} + 16}}} \right)$ .

e) Khử m từ hệ (*) ta có

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ my = 2x + 8 \hfill \cr m(4 - x) = 8y \hfill \cr} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,\,(2x + 8).(4 - x) = 8{y^2} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,2(16 - {x^2}) = 8{y^2}\,\, \cr & \cr& \Rightarrow {x^2} + 4{y^2} = 16\cr&\Rightarrow \,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \cr}$ 

Vậy I nằm trên elip (E) có phương trình $\,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1$ .

Ta có ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 - 4 = 12\,\,\,\, \Rightarrow \,\,c = 2\sqrt 3$

Hai tiêu điểm của elip là ${F_1}( - 2\sqrt 3 \,;\,0)\,,\,\,\,{F_2}(2\sqrt 3 \,;\,0)$

Bài 8 trang 128 SGK Hình học 10 nâng cao

Cho hypebol (H) có phương trình ${{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 4} = 1$

a)  Viết phương trình các đường tiệm cận của  hypebol (H).

b) Tính diện tích hình chữ  nhật cơ sở của hypebol (H).

c) Chứng minh rằng các điểm $M\left( {5\,;\,{3 \over 2}} \right)\,,\,N(8\,;\,2\sqrt 3 )$ đều thuộc  (H).

d) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của  hypebol (H).

e) Chứng minh rằng các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.

Giải

a)  Ta có a = 4, b = 2.

Phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) là

$y =  \pm {b \over a}x =  \pm {1 \over 2}x$                                      

b) Diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H) là $S = 4ab = 4.4.2 = 32$

c) Ta có ${{{5^2}} \over {16}} - {{{{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}} \over 4} = 1$ và ${{{8^2}} \over {16}} - {{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} \over 4} = 1$ nên M và N đều thuộc (H).

d) Phương trình đường thẳng của MN

$\Delta \,:\,\,{{x - 5} \over {8 - 5}} = {{y - {3 \over 2}} \over {2\sqrt 3  - {3 \over 2}}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3  - 3}}$                 

Giao điểm P của Δ với  tiệm cận $y = {1 \over 2}x$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \matrix{ \,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr y = {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{ x = 8 + 2\sqrt 3 \hfill \cr y = 4 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow \,\,P\,\left( {8 + 2\sqrt 3 \,;\,\,4 + \sqrt 3 } \right)$                .

Giao điểm Q của Δ với  tiệm cận $y =  - {1 \over 2}x$  là nghiệm của hệ

$\left\{ \matrix{ \,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr y = - {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{ x = 5 - 2\sqrt 3 \hfill \cr y = - {5 \over 2} + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,$

$\Rightarrow Q\left( {5 - 2\sqrt 3 \,;\, - {5 \over 2} + \sqrt 3 } \right)$               

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN, PQ . Ta có ${x_I} = {x_J} = {{13} \over 2}$ . Do $I\,,\,J\,\, \in \,\,\Delta$ nên $I \equiv J$ .

Vậy các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.

Bài 9 trang 128 SGK Hình học 10 nâng cao

a)  Ta có p = 2. Tọa độ tiêu điểm của (P) là F(1, 0).

Phương trình đường chuẩn  d: x + 1 = 0.

b) Ta có $K( - 1;\,m)\,,\,\,H(0\,;\,m)\,,\,M\left( {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right)$ .

c) I là trung điểm OH nên $I\left( {0\,;\,{m \over 2}} \right)$

Phương trình đường thẳng IM

${{x - 0} \over {{{{m^2}} \over 4} - 0}} = {{y - {m \over 2}} \over {m - {m \over 2}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = {m \over 2}\left( {y - {m \over 2}} \right)$

$\Leftrightarrow \,\,\,4x - 2my + {m^2} = 0$

Tọa độ giao điểm của IM với (P)  là nghiệm của hệ

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {y^2} = 4x \hfill \cr 4x - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {y^2} = 4x \hfill \cr {y^2} - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {y^2} = 4x \hfill \cr {(y - m)^2} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{ x = {{{m^2}} \over 4} \hfill \cr y = m \hfill \cr} \right. \cr}$ 

Vậy IM cắt (P) tại một điểm duy nhất $M\left( {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right)$

d) Ta có $\overrightarrow {MI}  = \left( { - {{{m^2}} \over 4}\,;\, - {m \over 2}} \right)\,\,,\,\,\,\overrightarrow {KF}  = (2\,;\, - m)$ .

Suy ra  $\overrightarrow {MI} .\,\overrightarrow {KF}  =  - {{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} = 0\,\,\,\, \Rightarrow \,\,MI \bot KF$

Tam giác $KMF$ cân tại M  (do MF = MK).

MI là đường cao nên là phân giác góc KMF.

Giaibaitap.me