Bài 7 trang 127 SGK Hình học 10 nâng cao
Trong mặt phẳng tọa độ, với mỗi số \(m \ne 0\) , xét hai điểm \({M_1}( - 4\,;\,m);\,{M_2}(4\,;\,{{16} \over m})\)
a) Viết phương trình đường thẳng M1M2.
b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng M1M2.
c) Chứng tỏ rằng đường thẳng M1M2 luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
d) Lấy các điểm \({A_1}( - 4\,;\,0),\,{A_2}(4\,;\,0)\) . Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng \({A_1}{M_2},\,{A_2}{M_1}\) .
e) Chứng minh rằng khi m thay đổi, I luôn luôn nằm trên một elip (E) cố định. Xác định tọa độ tiêu điểm của elip đó.
Giải
a) Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {8\,;\,{{16} \over m} - m} \right) = \left( {8\,;\,{{16 - {m^2}} \over m}} \right)\)
Phương trình đường thẳng \({M_1}{M_2}\,\,:\,\,{{x + 4} \over 8} = {{y - m} \over {{{16 - {m^2}} \over m}}}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\,\left( {16 - {m^2}} \right).\left( {x + 4} \right) = 8m\left( {y - m} \right) \cr
& \Leftrightarrow \,\,\left( {16 - {m^2}} \right).x - 8my + 64 + 4{m^2} = 0 \cr} \)
b) Khoảng cách từ O đến đường thẳng M1M2 là
\(d(O\,,\,{M_1}{M_2}) = {{64 + 4{m^2}} \over {\sqrt {{{\left( {16 - {m^2}} \right)}^2} + 64{m^2}} }} = {{4\left( {{m^2} + 16} \right)} \over {\sqrt {{{\left( {{m^2} + 16} \right)}^2}} }} = 4\)
c) Gọi (C) là đường tròn tâm O bán kính R = 4 thì M1M2 tiếp xúc với đường tròn cố định (C).
d) Phương trình đường thẳng A1M2 là
\({{x + 4} \over 8} = {{y - 0} \over {{{16} \over m}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2x - my + 8 = 0\)
Phương trình đường thẳng A2M1 là
\({{x - 4} \over { - 8}} = {{y - 0} \over m}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,mx + 8y - 4m = 0\)
Tọa độ giao điểm I của A1M2 và A2M1 là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
2x - my + 8 = 0 \hfill \cr
mx + 8y - 4m = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,(*)\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = {{4({m^2} - 16)} \over {{m^2} + 16}} \hfill \cr
y = {{16m} \over {{m^2} + 16}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(I\left( {{{4({m^2} - 16)} \over {{m^2} + 16}}\,;\,{{16m} \over {{m^2} + 16}}} \right)\) .
e) Khử m từ hệ (*) ta có
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
my = 2x + 8 \hfill \cr
m(4 - x) = 8y \hfill \cr} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,\,(2x + 8).(4 - x) = 8{y^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,2(16 - {x^2}) = 8{y^2}\,\, \cr
& \cr& \Rightarrow {x^2} + 4{y^2} = 16\cr&\Rightarrow \,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \cr} \)
Vậy I nằm trên elip (E) có phương trình \(\,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) .
Ta có \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 - 4 = 12\,\,\,\, \Rightarrow \,\,c = 2\sqrt 3 \)
Hai tiêu điểm của elip là \({F_1}( - 2\sqrt 3 \,;\,0)\,,\,\,\,{F_2}(2\sqrt 3 \,;\,0)\)
Bài 8 trang 128 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho hypebol (H) có phương trình \({{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 4} = 1\)
a) Viết phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H).
b) Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H).
c) Chứng minh rằng các điểm \(M\left( {5\,;\,{3 \over 2}} \right)\,,\,N(8\,;\,2\sqrt 3 )\) đều thuộc (H).
d) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của hypebol (H).
e) Chứng minh rằng các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.
Giải
a) Ta có a = 4, b = 2.
Phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) là
\(y = \pm {b \over a}x = \pm {1 \over 2}x\)
b) Diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H) là \(S = 4ab = 4.4.2 = 32\)
c) Ta có \({{{5^2}} \over {16}} - {{{{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}} \over 4} = 1\) và \({{{8^2}} \over {16}} - {{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} \over 4} = 1\) nên M và N đều thuộc (H).
d) Phương trình đường thẳng của MN
\(\Delta \,:\,\,{{x - 5} \over {8 - 5}} = {{y - {3 \over 2}} \over {2\sqrt 3 - {3 \over 2}}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}}\)
Giao điểm P của Δ với tiệm cận \(y = {1 \over 2}x\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{
\,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr
y = {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = 8 + 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = 4 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow \,\,P\,\left( {8 + 2\sqrt 3 \,;\,\,4 + \sqrt 3 } \right)\) .
Giao điểm Q của Δ với tiệm cận \(y = - {1 \over 2}x\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{
\,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr
y = - {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = 5 - 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = - {5 \over 2} + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \)
\(\Rightarrow Q\left( {5 - 2\sqrt 3 \,;\, - {5 \over 2} + \sqrt 3 } \right)\)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN, PQ . Ta có \({x_I} = {x_J} = {{13} \over 2}\) . Do \(I\,,\,J\,\, \in \,\,\Delta \) nên \(I \equiv J\) .
Vậy các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.
Bài 9 trang 128 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho parabol (P) có phương trình y2 = 4x.
a) Xác định tọa độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn d của (P).
b) Đường thẳng Δ có phương trình \(y = m\,,\,\,(m \ne 0)\) lần lượt cắt d, Oy, (P) tại các điểm K, H, M. Tìm tọa độ của các điểm đó.
c) Gọi I là trung điểm của OH. Viết phương trình đường thẳng IM và chứng tỏ rằng đường thẳng IM cắt (P) tại một điểm duy nhất.
d) Chứng minh rằng \(MI \bot KF\) . Từ đó suy ra IM là phân giác của góc KMF.
Giải
a) Ta có p = 2. Tọa độ tiêu điểm của (P) là F(1, 0).
Phương trình đường chuẩn d: x + 1 = 0.
b) Ta có \(K( - 1;\,m)\,,\,\,H(0\,;\,m)\,,\,M\left( {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right)\) .
c) I là trung điểm OH nên \(I\left( {0\,;\,{m \over 2}} \right)\)
Phương trình đường thẳng IM
\({{x - 0} \over {{{{m^2}} \over 4} - 0}} = {{y - {m \over 2}} \over {m - {m \over 2}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = {m \over 2}\left( {y - {m \over 2}} \right)\)
\(\Leftrightarrow \,\,\,4x - 2my + {m^2} = 0\)
Tọa độ giao điểm của IM với (P) là nghiệm của hệ
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
4x - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
{y^2} - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
{(y - m)^2} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{
x = {{{m^2}} \over 4} \hfill \cr
y = m \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy IM cắt (P) tại một điểm duy nhất \(M\left( {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right)\)
d) Ta có \(\overrightarrow {MI} = \left( { - {{{m^2}} \over 4}\,;\, - {m \over 2}} \right)\,\,,\,\,\,\overrightarrow {KF} = (2\,;\, - m)\) .
Suy ra \(\overrightarrow {MI} .\,\overrightarrow {KF} = - {{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} = 0\,\,\,\, \Rightarrow \,\,MI \bot KF\)
Tam giác \(KMF\) cân tại M (do MF = MK).
MI là đường cao nên là phân giác góc KMF.
Giaibaitap.me
