Bài 22 trang 84 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các phương trình

a) \({{2({x^2} - 1)} \over {2x + 1}} = 2 - {{x + 2} \over {2x + 1}}\)

b) \({{2x - 5} \over {x - 1}} = {{5x - 3} \over {3x + 5}}\)

Giải

a) \({{2({x^2} - 1)} \over {2x + 1}} = 2 - {{x + 2} \over {2x + 1}}\)

Điều kiện: \(x \ne  - {1 \over 2}\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {{2({x^2} - 1)} \over {2x + 1}} = 2 - {{x + 2} \over {2x + 1}}\cr& \Leftrightarrow 2({x^2} - 1) = 2(2x + 1) - (x + 2) \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} - 2 = 4x + 2 - x - 2 \cr& \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \;( \text{thỏa mãn})\hfill \cr
x = - {1 \over 2}\,(\text{loại} )\hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy S = {2}

b) \({{2x - 5} \over {x - 1}} = {{5x - 3} \over {3x + 5}}\)

Điều kiện:

\(\left\{ \matrix{
x \ne 1 \hfill \cr
x \ne - {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {{2x - 5} \over {x - 1}} = {{5x - 3} \over {3x + 5}}\cr&  \Leftrightarrow (2x - 5)(3x + 5) = (5x - 3)(x - 1) \cr
& \Leftrightarrow 6{x^2} + 10x - 15 x- 25 = 5{x^2} - 5x - 3x + 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 4\;( \text{thỏa mãn})\hfill \cr
x = - 7\;( \text{thỏa mãn}) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy S = {-7, 4}

Bài 23 trang 84 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải phương trình sau \({{m - 3} \over {x - 4}} = {m^2} - m - 6\) trong mỗi trường hợp sau:

a) m = 3

b) m ≠ 3

Giải

a) Với m = 3, phương trình nghiệm đúng ∀x ≠ 4

Vậy S = R\{4}

b)

Với m ≠ 3, ta có:

\(\eqalign{
& {{m - 3} \over {x - 4}} = {m^2} - m - 6 \cr
& \Leftrightarrow {{m - 3} \over {x - 4}} = (m - 3)(m + 2) \cr&\Leftrightarrow {1 \over {x - 4}} = m + 2\,\,(1) \cr} \) 

+ Nếu m ≠ -2 thì (1) ta được:

\(\eqalign{
& x - 4 = {1 \over {m + 2}} \cr
& \Leftrightarrow x = 4 + {1 \over {m + 2}} = {{4m + 9} \over {m + 2}}\,\,\,\,\,(x \ne 4) \cr} \)

+ Nếu m = -2 thì (1) vô nghiệm

Vậy m = -2, S = Ø 

       m = -3; S = R\{4}

       m ≠ -2 và m ≠ 3: \(S = {\rm{\{ }}{{4m + 9} \over {m + 2}}{\rm{\} }}\)

Bài 24 trang 84 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các phương trình (a và m là những tham số)

a) \(|2ax + 3| = 5\)

b) \({{2mx - {m^2} + m - 2} \over {{x^2} - 1}} = 1\)

Giải

a) Ta có:

\(|2ax + 3| = 5\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2ax + 3 = 5 \hfill \cr
2ax + 3 = - 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2ax = 2 \hfill \cr
2ax = - 8 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,(1)\)

Nếu a = 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu a ≠ 0 thì (1) 

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over a} \hfill \cr
x = - {4 \over a} \hfill \cr} \right.\,\,\,;\,\,S = {\rm{\{ }}{1 \over a};{{ - 4} \over a}{\rm{\} }}\)

b) Điều kiện: \(x ≠  ± 1\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {{2mx - {m^2} + m - 2} \over {{x^2} - 1}} = 1\cr& \Leftrightarrow 2mx - {m^2} + m - 2 = {x^2} - 1 \cr
& \Leftrightarrow f(x) = {x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0\,\,\,\,(1) \cr} \)

Δ’ = m² – (m² – m + 1) = m – 1

+ Với m > 1

   i) \(m\ne 2 \)  (1)  ⇔ \(x = m \pm \sqrt {m - 1}\) 

   ii) m = 2     

      \((1) \Leftrightarrow \left[ \matrix{
              x = 1\,(\text{loại}) \hfill \cr
              x = 3 \,(\text{thỏa mãn}) \hfill \cr} \right.\)

+ Với m < 1, (1) vô nghiệm

+) Với m = 1, (1) có nghiệm kép x = 1 (loại)

Vậy

 +) m = 2; S = {3} (loại nghiệm x = 1)

 +) m >1 và m ≠ 2; \(S = {\rm{\{ }}m \pm \sqrt {m - 1} {\rm{\} }}\)

 + m \(\le\) 1; S = Ø

Bài 25 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các phương trình (m, a và k là tham số)

a) \(|mx – x + 1| = |x + 2|\)

b) \({a \over {x + 2}} + {1 \over {x - 2a}} = 1\)

c) \({{mx - m - 3} \over {x + 1}} = 1\)

d) \({{3x + k} \over {x - 3}} = {{x - k} \over {x + 3}}\)

Giải

a) Ta có:

\(|mx – x + 1| = |x + 2|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx - x + 1 = x + 2 \hfill \cr
mx - x + 1 = - x - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
(m - 2)x = 1 \hfill \cr
mx = - 3 \hfill \cr} \right.\)

+ Với m = 2; \(S = {\rm{\{  - }}{3 \over 2}{\rm{\} }}\)

+ Với m = 0; \(S = {\rm{\{ }} - {1 \over 2}{\rm{\} }}\)

+ Với m ≠ 0 và m ≠ 2; \(S = {\rm{\{ }}{1 \over {m - 2}}; - {3 \over m}{\rm{\} }}\)

b) Điều kiện: x ≠  2 và x ≠ 2a

Ta có:

\(\eqalign{
& {a \over {x - 2}} + {1 \over {x - 2a}} = 1 \cr&\Leftrightarrow a(x - 2a) + x - 2 = (x - 2)(x - 2a) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 3(a + 1)x + 2{(a + 1)^2} = 0 \cr} \)

Δ = 9(a + 1)² – 8(a + 1)² = (a + 1)²

Phương trình có hai nghiệm là:

\(\left\{ \matrix{
{x_1} = {{3(a + 1) + a + 1} \over 2} = 2a + 2 \hfill \cr
{x_2} = {{3(a + 1) - (a + 1)} \over 2} = a + 1 \hfill \cr} \right.\)

Kiểm tra điều kiện:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_1} \ne 2 \hfill \cr
{x_1} \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2a + 2 \ne 2 \hfill \cr
2a + 2 \ne 2a \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ne 0 \hfill \cr
2 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ne 0 \cr
& \left\{ \matrix{
{x_2} \ne 2 \hfill \cr
{x_2} \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a + 1 \ne 2 \hfill \cr
a + 1 \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ne 1 \cr} \) 

Vậy: a = 0 thì S = {1}

         a = 1 thì S = {4}

         a ≠ 0 và a ≠ 1 thì S = {2a + 2; a + 1}

c) Điều kiện: x ≠ -1 thì phương trình tương đương với:

mx – m – 3 = x + 1 ⇔ (m – 1)x = m + 4    (1)

+ Nếu m = 1 thì 0x = 5 phương trình vô nghiệm

+ Nếu m ≠ 1 thì (1) có nghiệm \(x = {{m + 4} \over {m - 1}}\)

\(x = {{m + 4} \over {m - 1}}\) là nghiệm của phương trình đã cho :

\( \Leftrightarrow {{m + 4} \over {m - 1}} \ne  - 1 \Leftrightarrow m + 4 \ne  - m + 1 \Leftrightarrow m \ne  - {3 \over 2}\)

Vậy:

\(\eqalign{
& i)\left\{ \matrix{
m \ne - {3 \over 2} \hfill \cr
m \ne 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,:\,\,S = {\rm{\{ }}{{m + 4} \over {m - 1}}{\rm{\} }} \cr
& ii)\left[ \matrix{
m = - {3 \over 2} \hfill \cr
m = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,:\,\,\,\,S = \emptyset \cr} \)

d) Điều kiện: x ≠  ±3

Ta có:

\(\eqalign{
& {{3x + k} \over {x - 3}} = {{x - k} \over {x + 3}} \cr&\Leftrightarrow (3x + k)(x + 3) = (x - k)(x - 3) \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + (k + 6)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0\,\,\,\,(\text{thỏa mãn}) \hfill \cr
x = - k - 6 \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Kiểm tra điều kiện:

\(\left\{ \matrix{
x \ne 3 \hfill \cr
x \ne - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- k - 6 \ne 3 \hfill \cr
- k - 6 \ne - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k \ne - 9 \hfill \cr
k \ne - 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy: k = -3 hoặc k = -9 thì S = {0}

         k ≠ -3 hoặc k ≠ -9 thì S = {0, -k, -6}

Giaibaitap.me