Bài 19 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải phương trình x² + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0, biết rằng nó có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17.

Giải

Ta có:

Δ = (4m + 1)² – 8( m – 4) = 16m² + 33 > 0; ∀m

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 

x₁  + x₂ = - 4m – 1; x₁x₂ = 2(m – 4) (x₁ > x₂)

Ta có:

 x₁ – x₂ = 17  ⇔ (x₁ – x₂)² = 289

⇔ (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = 289

⇔ (4m + 1)² – 8(m – 4) = 289

⇔ 16m² + 33 = 289

⇔ m = ± 4

+) Với m = 4 phương trình có 2 nghiệm:

\(\eqalign{
& {x_1} = {{ - 17 - \sqrt {289} } \over 2} = - 17 \cr
& {x_2} = {{ - 17 + \sqrt {289} } \over 2} = 0 \cr} \)

+) Với m = -4 phương trình có 2 nghiệm:

\(\eqalign{
& {x_1} = {{15 - \sqrt {289} } \over 2} = - 1 \cr
& {x_2} = {{15 + \sqrt {289} } \over 2} = 16 \cr} \)

Bài 20 trang 79 SGK Đại số 10 nâng cao

Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau có bao nhiêu nghiệm

a) x⁴ + 8x² + 12 = 0;

b) -1,5x⁴ - 2,6x² + 1 = 0;

c) \((1 - \sqrt 2 ){x^4} + 2{x^2} + 1 - \sqrt 2  = 0\)            

d) \( - {x^4} + (\sqrt 3  - \sqrt 2 ){x^2} = 0\)

Giải

a) x⁴ + 8x² + 12 = 0

Ta có: Δ’ = 4 > 0; S = -8 < 0; P = 12 > 0

Phương trình t² + 8t + 12 = 0 có hai nghiệm âm nên phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm.

b) Ta có: ac < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm đối nhau.

c) Ta có: Δ’ = 1 + (1 – 2) = 0

\(\left\{ \matrix{
S = {2 \over {\sqrt 2 - 1}} > 0 \hfill \cr
P = {{1 - \sqrt 2 } \over {1-\sqrt 2 }} > 0 \hfill \cr} \right.\) 

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm đối nhau,

d) Phương trình \( - {t^2} + (\sqrt 3  - \sqrt 2 )t = 0\) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương nên phương trình trùng phương có 3 nghiệm

Bài 21 trang 79 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho phương trình: kx₂ - 2(k + l)x + k + 1 = 0.

a) Tìm k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương.

b) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1

(Hướng dẫn: đặt x= y + 1).

Giải

a) Với k = 0 ta có: -2x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\)   (nhận)

Với k ≠ 0, ta có: Δ’ = (k + 1)² – k(k + 1) = k + 1

Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi P < 0 hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.

+ Trường hợp 1: P < 0 ⇔ k(k + 1) < 0 ⇔ -1 < k < 0

+ Trường hợp 2:

\(\left\{ \matrix{
\Delta \ge 0 \hfill \cr
S > 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k + 1 \ge 0 \hfill \cr
{{2(k + 1)} \over k} > 0 \Leftrightarrow k > 0 \hfill \cr
{{k + 1} \over k} > 0 \hfill \cr} \right.\)

+ Trường hợp 3: x = 0 là nghiệm ⇒ k = -1

Khi đó, phương trình trở thành –x² = 0 ⇔ x = 0

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi k > -1

b) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn:

\(\eqalign{
&{x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1 \cr
& \Leftrightarrow ({x_1} - 1)({x_2} - 1) < 0 \cr&\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1 < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{k + 1} \over k} - {{2(k + 1)} \over k} + 1 < 0\cr& \Leftrightarrow {{k + 1 - 2k - 2 + k} \over k} < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{ - 1} \over k} < 0 \Leftrightarrow k > 0 \cr} \)

Ta thấy rằng k > 0 thỏa mãn \(Δ = k + 1 > 0\)

Vậy giá trị k cần tìm là k > 0

Giaibaitap.me