Bài 16 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các phương trình sau (m và k là tham số),

a) (m - 1)x² + 7x - 12 = 0;

b) mx² - 2(m + 3)x + m + 1 = 0;

c) [(k + 1)x - 1](x - 1) = 0;

d) (mx - 2)(2mx - x + 1) = 0.

Giải

a) (m - 1)x² + 7x - 12 = 0

- Với m = 1, phương trình trở thành: $7x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = {{12} \over 7}$

- Với m ≠ -1, ta có: Δ = 7² + 48(m – 1) = 48m + 1

   +  $Δ < 0 ⇔m <  - {1 \over {48}}$  phương trình vô nghiệm

   + $\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - {1 \over {48}}$  thì phương trình có hai nghiệm:$x = {{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} } \over {2(m - 1)}}$

b) mx² - 2(m + 3)x + m + 1 = 0

+ Với m = 0, phương trình trở thành: $- 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 6}$

+ Với m ≠ 0. Ta có: Δ’ = (m + 3)² – m(m + 1) = 5m + 9         

$\Delta  < 0 \Leftrightarrow m <  - {9 \over 5}$ phương trình vô nghiệm

$\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - {9 \over 5}$ , phương trình có hai nghiệm: $x = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}$

c) Ta có:

${\rm{[(k + 1)x}}\,\, - 1{\rm{]}}(x\, - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr (k + 1)x = 1\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr} \right.$

+ Nếu k = -1 thì (1) vô nghiệm. Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1

+ Nếu k ≠ 1 thì (1) có nghiệm $x = {1 \over {k + 1}}$

Ta có: ${1 \over {k + 1}} = 1 \Leftrightarrow k = 0$ .

Do đó:

i) k = 0; S = {1}

ii) k ≠ 0 và k ≠ -1: $S = {\rm{\{ }}1,\,{1 \over {k + 1}}{\rm{\} }}$

iii) k = -1: S = {1}

d) Ta có: 

$(mx - 2)(2mx - x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ mx = 2 \hfill \cr (2m - 1)x = - 1 \hfill \cr} \right.$

+ Nếu m = 0 thì x = 1

+ Nếu m = ${1 \over 2}$ thì x = 4

+ Nếu m ≠ 0 và m ≠ ${1 \over 2}$ thì phương trình có hai nghiệm là: $x = {2 \over m};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {1 \over {1 - 2m}}$

Bài 17 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Biện luận số giao điểm của hai parabol y = -x² - 2x + 3 và y = x² - m theo tham số m.

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol là:

${x^2}-m =  - {x^2}-2x + 3$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x-m-3 = 0$    (1)

$Δ’ = 1 + 2(m + 3) = 2m + 7$

+ $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m >  - {7 \over 2}$ : (1) có hai nghiệm phân biệt, khi đó hai parabol cắt nhau tại hai điểm.

+ $\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m =  - {7 \over 2}$ :  (1) có hai nghiệm kép, khi đó hai parabol có một điểm chung

+ $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow x <  - {7 \over 2}$: (1) vô nghiệm, khi đó hai parabol không có điểm chung.

Bài 18 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của m để phương trình x² - 4x + m - 1 = 0 có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn hệ thức x₁³ + x₂³ = 40.

Giải

Điều kiện để phương trình có nghiệm:

Δ ‘ = 4 – (m – 1) = 5 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5

Khi đó: x₁ + x₂ = 4; x₁x₂ = m – 1

Ta có:

x₁³ + x₂³ = 40 ⇔ (x₁ +x₂)(x₁² + x₂² – x₁x₂) = 40

⇔ (x₁ + x₂)[(x₁ + x₂)² – 3x₁x₂] = 40

⇔4[16 – 3(m – 1)] = 40

⇔ 12m = 36 ⇔ m = 3 (nhận)

Giaibaitap.me