Bài 9 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) \(y = {{3x + 1} \over {{x^2} - 9}}\)

b) \(y = {x \over {1 - {x^2}}} - \sqrt { - x} \)

c) \(y = {{x - 3\sqrt {2-x} } \over {\sqrt {x + 2} }}\)

d) \(y = {{\sqrt {x - 1}  + \sqrt {4 - x} } \over {(x - 2)(x - 3)}}\)

Giải

a) y xác định \( \Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}9{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} \ne {\rm{ }} \pm {\rm{ }}3\)

Vậy tập xác định \(D = \mathbb R\backslash \left\{ { \pm {\rm{ }}3} \right\}\) 

b)

y xác định 

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 - {x^2} \ne 0 \hfill \cr
- x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne \pm 1 \hfill \cr
x \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr
x \le 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(D = (-∞;-1)\cup (-1; 0]\)

c)

y xác định 

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2 - x \ge 0 \hfill \cr
x + 2 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 2 \hfill \cr
x > - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 2 < x \le 2\)

Vậy \(D = (-2, 2]\)

d)

y xác định

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 1 \ge 0 \hfill \cr
4 - x \ge 0 \hfill \cr
(x - 2)(x - 3) \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \le 4 \hfill \cr
x \ne 2;\,x \ne 3 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 \le x \le 4 \hfill \cr
x \ne 2;x \ne 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \( D = [1, 2) ∪(2, 3) ∪ (3, 4]\)

Bài 10 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho hàm số:

\(f(x) = \left\{ \matrix{
- 2(x - 2);\,\,\, - 1 \le x < 1 \hfill \cr
\sqrt {{x^2} - 1} ;\,\,\,\,x \ge 1 \hfill \cr} \right.\)

a) Cho biết tập xác định của hàm số f

b) Tính \(f(-1); f(0,5); f({{\sqrt 2 } \over 2} ); f(1); f(2)\)

Giải

a) Tập xác định của f là \(D = [-1, +∞)\)

b) Ta có:

\(f(-1) = -2(-1 – 2) = 6\)

\(f(0,5) = -2(0,5 – 2) = 3\)

\(f({{\sqrt 2 } \over 2}) =  - 2({{\sqrt 2 } \over 2} - 2) =  - \sqrt 2  + 4\)

\(f(1) = 0\)

\(f(2) =\sqrt 3\)

Bài 11 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Trong các điểm \(A(-2, 8); B(4, 12); C(2, 8); D(5, 25 +\sqrt 2 )\)

Điểm nào thuộc, điểm nào không thuộc đồ thị của hàm số \(f(x) = {x^2} + \sqrt {x - 3} \) ? Vì sao?

Giải

Tập xác định của hàm số \(D = [3; +∞)\)

Ta có:

\(x = -2\) và \(x = 2\) không thuộc tập xác định nên điểm \(A(-2; 8)\) và \(C(2; 8)\) không thuộc đồ thị hàm số.

Ta có:

\(f(4) = {4^2} + \sqrt {4 - 3}  = 17\) \(⇒ B(4; 12)\) không thuộc đồ thị hàm số

\(f(5) = {5^2} + \sqrt {5 - 3}  = 25 + \sqrt 2 \) \(⇒ D(5; 25 +\sqrt 2  )\) thuộc đồ thị hàm số

Bài 12 trang 46 SGK Đại số 10 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

a) \(y = {1 \over {x - 2}}\) trên mỗi khoảng \((-∞; 2)\) và \((2; +∞)\)

b) y = x² – 6x + 5 trên mỗi khoảng \((-∞; 3)\) và \((3; +∞)\)

c) y = x²⁰⁰⁵ + 1 trênn khoảng \((-∞; +∞)\)

Giải

a) \(f(x) = {1 \over {x - 2}}\)

+ Với x₁; x₂ ∈ \((-∞; 2)\) và x₁ ≠ x₂; ta có:

 \(f({x_2}) - f({x_1}) = {1 \over {{x_2} - 2}} - {1 \over {{x_1} - 2}} = {{{x_1} - 2 - {x_2} + 2} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}\)

\(= {{{x_1} - {x_2}} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}}\)

\( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}} < 0\) 

Vậy hàm số \(y = {1 \over {x - 2}}\) nghịch biến trên \((-∞; 2)\)

+ Với x₁; x₂ ∈ \((2; +∞)\) và x₁ ≠ x₂; ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {{ - 1} \over {({x_1} - 2)({x_2} - 2)}} < 0\)

Vậy hàm số \(y = {1 \over {x - 2}}\)  nghịch biến trên \((2; +∞)\)

Bảng biến thiên

b) f(x) = x² – 6x + 5

+ Với x₁; x₂ ∈ \((-∞; 3)\)  và x₁ ≠ x₂; ta có:

f(x₂) – f(x₁) = x₂² – 6x₂ + 5 – (x₁² – 6x₁ + 5)

= x₂² - x₁² + 6(x₁ – x₂) = (x₂ – x₁)(x₁  + x₂ – 6)

\( \Rightarrow {{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 < 0\)  (vì x₁ < 3; x₂ < 3)

Vậy hàm số y = x² – 6x + 5 nghịch biến trên \((-∞, 3)\) 

+ Với x₁; x₂ ∈ \((3, +∞)\) và x₁ ≠ x₂; ta có:

\({{f({x_2}) - f({x_1})} \over {{x_2} - {x_1}}} = {x_1} + {x_2} - 6 > 0\) (vì x₁ > 3; x₂ > 3)

Vậy hàm số y = x² – 6x + 5 đồng biến trên \((3;+∞)\) 

Bảng biến thiên

c)

Với mọi x₁, x₂ ∈ \((-∞; +∞)\) , ta có x₁ < x₂ 

\(\Rightarrow\) x₁²⁰⁰⁵ < x₂²⁰⁰⁵

\(\Rightarrow\)  x₁²⁰⁰⁵ + 1 < x₂²⁰⁰⁵ + 1

hay f(x₁) < f(x₂) (y = f(x) = x²⁰⁰⁵ + 1).

Từ đấy ta có, hàm số đã cho đồng biến trên \((-∞; +∞)\) 

Giaibaitap.me