Bài 55 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao

Hỏi các đẳng thức sau có đúng với mọi số nguyên k không?

a) \(\sin ({\pi  \over 2} + k\pi ) = {( - 1)^k}\)

b) \(\cos (k\pi ) = {( - 1)^k}\)

c) \(\tan ({\pi  \over 4} + {{k\pi } \over 2}) = {( - 1)^k}\)

d) \(\sin ({\pi  \over 4} + {{k\pi } \over 2}) = {( - 1)^k}{{\sqrt 2 } \over 2}\)

Đáp án

a) Đúng, thử với k chẵn và k lẻ

b) Đúng, thử với k chẵn và k lẻ

c) Đúng, thử với k = 0, 1, 2, 3

d) Sai, khi k = 1, vế trái là \({{\sqrt 2 } \over 2}\) , vế phải là -\({{\sqrt 2 } \over 2}\)

Bài 56 trang 218 SGK Đại số 10 Nâng cao

Tính

a) 

\(sin\alpha ,{\rm{ }}cos2\alpha ,{\rm{ }}sin2\alpha ,\,\cos {\alpha \over 2},\sin {\alpha \over 2}\) biết

\(\cos \alpha = {4 \over 5} \) và \(- {\pi \over 2} < \alpha < 0 \)

b) \(\tan ({\pi  \over 4} - \alpha )\) biết 

\(\left\{ \matrix{
\cos \alpha = - {9 \over {11}} \hfill \cr
\pi < \alpha < {{3\pi } \over 2} \hfill \cr} \right.\)

c) \({\sin ^4}\alpha  - {\cos ^4}\alpha \) biết \(cos2\alpha  = {3 \over 5}\)

d) 

\(\cos (\alpha - \beta )\) biết \(\left\{ \matrix{
\sin \alpha - \sin \beta = {1 \over 3} \hfill \cr
\cos \alpha - \cos \beta = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

e) \(\sin {\pi  \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\sin {{5\pi } \over {16}}\sin {{7\pi } \over {16}}\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& - {\pi \over 2} < \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha < 0\cr& \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = - {3 \over 5} \cr
& \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = - {{24} \over {25}} \cr
& \cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1 = {7 \over {25}} \cr
& \cos {\alpha \over 2} = \sqrt {{{1 + \cos \alpha } \over 2}} = {{3\sqrt {10} } \over {10}};\cr&\sin {\alpha \over 2} =- \sqrt {{{1 - \cos \alpha } \over 2}} = - {{\sqrt {10} } \over {10}} \cr} \)

b) Vì \(\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \tan \alpha  > 0\)

Do đó:

\(\eqalign{
& \tan \alpha = \sqrt {{1 \over {{{\cos }^2}}} - 1} = {{2\sqrt {10} } \over 9} \cr
& \tan ({\pi \over 4} - \alpha ) = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} = {{121 - 36\sqrt {10} } \over {41}} \cr} \) 

c) Ta có:

\(\eqalign{
& {\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = ({\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha )({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha ) \cr
& = {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha = - \cos 2\alpha = - {3 \over 5} \cr} \)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& {(\sin \alpha - \sin \beta )^2} = {({1 \over 3})^2}\cr& \Rightarrow {\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta - 2\sin \alpha \sin \beta = {1 \over 9}\,\,\,\,\,\,(1) \cr
& {(cos\alpha - \cos \beta )^2} = {({1 \over 2})^2}\cr& \Rightarrow {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta - 2\cos \alpha \cos \beta = {1 \over 4}\,\,\,(2) \cr} \)

Cộng từng vế của (1) và (2), ta được:

 \(1 + 1 - 2(cos\alpha \cos \beta  + \sin \alpha \sin \beta ) = {1 \over 9} + {1 \over 4} = {{13} \over {36}}\)

Từ đó: \(\cos (\alpha  - \beta ) = {{59} \over {72}}\)

e) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\sin {{5\pi } \over {16}}\sin {{7\pi } \over {16}}\cr& = \sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\sin ({\pi \over 2} - {{3\pi } \over 6})\sin ({\pi \over 2} - {\pi \over {16}}) \cr
& = \sin {\pi \over {16}}\sin {{3\pi } \over {16}}\cos {{3\pi } \over {16}}\cos {\pi \over {16}}\cr& = ({1 \over 2}\sin {\pi \over 8})({1 \over 2}\sin {{3\pi } \over 8}) \cr
& = {1 \over 4}\sin {\pi \over 8}\sin ({\pi \over 2} - {\pi \over 8}) \cr&= {1 \over 4}sin{\pi \over 8}\cos {\pi \over 8} = {1 \over 8}\sin {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over {16}} \cr} \)

Bài 57 trang 218 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) \(2\sin ({\pi  \over 4} + \alpha )\sin ({\pi  \over 4} - \alpha ) = \cos 2\alpha \)

b) \(sinα (1 + cos2α) = sin2α cosα\)

c) \({{1 + \sin 2\alpha  - \cos 2\alpha } \over {1 + \sin 2\alpha  + \cos 2\alpha }} = \tan \alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)

d) \(\tan \alpha  - {1 \over {\tan \alpha }} =  - {2 \over {\tan 2\alpha }}\) (khi các biểu thức có nghĩa)

Đáp án

a) Ta có:

\(2\sin ({\pi  \over 4} + \alpha ).sin({\pi  \over 4} - \alpha ) \)

\(= \cos 2\alpha  - \cos {\pi  \over 2} = \cos 2\alpha \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& sin\alpha \left( {1 + cos2\alpha } \right) \cr&= \sin \alpha (1 + 2{\cos ^2}\alpha - 1) \cr
& = 2\sin \alpha {\cos ^2}\alpha = \sin 2\alpha \cos \alpha \cr} \)

c)

\(\eqalign{
& {{1 + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha } \over {1 + \sin 2\alpha + \cos 2\alpha }} = {{\sin 2\alpha (1 - \cos 2\alpha )} \over {\sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha )}} \cr
& = {{\sin 2\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha } \over {\sin 2\alpha + 2{{\cos }^2}\alpha }} = {{2\sin \alpha (cos\alpha + sin\alpha )} \over {2\cos \alpha (cos\alpha + sin\alpha )}} \cr&= \tan \alpha \cr} \)

d)  

\(\tan \alpha  - {1 \over {\tan \alpha }} = 2.{{{{\tan }^2}\alpha  - 1} \over {2\tan \alpha }} =  - {2 \over {\tan 2\alpha }}\)

Bài 58 trang 218 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Nếu \(α + β + γ = kπ (k ∈ Z)\) và \(\cosα \cosβ \cosγ ≠ 0\) thì

\( \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma\)

b) Nếu \(0 < \alpha  < \beta  < \gamma  < {\pi  \over 2}\) và \(\tan \alpha  = {1 \over 8};\,\tan \beta  = {1 \over 5};\,\tan \gamma  = {1 \over 2}\) thì \(\alpha  + \beta  + \gamma  = {\pi  \over 2}\)

c) \({1 \over {\sin {{10}^0}}} - {{\sqrt 3 } \over {\cos {{10}^0}}} = 4\)

Đáp án

a) Ta có: \(α + β +  γ = kπ  \)

\(⇒ tan (α + β ) = tan(kπ – γ) = - tanγ\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {{\tan \alpha + \tan \gamma } \over {1 - \tan \alpha \tan \beta }} = - \tan \gamma\cr& \Rightarrow \tan \alpha + \tan \beta = - \tan \gamma (1 - \tan \alpha \tan \beta ) \cr
& \Rightarrow \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \cr} \) 

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \tan (\alpha + \beta ) = {{\tan \alpha + \tan \beta } \over {1 - \tan \alpha \tan \beta }} = {{{1 \over 8} + {1 \over 5}} \over {1 - {1 \over 8}.{1 \over 5}}} = {1 \over 3} \cr
& \Rightarrow \tan (\alpha + \beta + \gamma ) = {{\tan (\alpha + \beta ) + \tan \gamma } \over {1 - \tan (\alpha + \beta )  \tan \gamma }} \cr&= {{{1 \over 3} + {1 \over 2}} \over {1 - {1 \over 3}.{1 \over 2}}} = 1 \cr} \) 

Vì \(0 < \alpha  + \beta  + \gamma  < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \alpha  + \beta  + \gamma  = {\pi  \over 4}\)

c) Ta có:

\(\eqalign{
& {1 \over {\sin {{10}^0}}} - {{\sqrt 3 } \over {\cos {{10}^0}}} = {{\cos {{10}^0} - \sqrt 3 \sin {{10}^0}} \over {\sin {{10}^0}\cos {{10}^0}}} \cr
& = {{2(cos{{60}^0}\cos {{10}^0} - \sin {{60}^0}\sin {{10}^0})} \over {\sin {{10}^0}\cos {{10}^0}}} \cr&= {{2\cos ({{60}^0} + {{10}^0})} \over {{1 \over 2}\sin {{20}^0}}} \cr
& = {{4\cos {{70}^0}} \over {\cos {{70}^0}}} = 4 \cr} \)

Giaibaitap.me