Bài 52 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao

a) Chứng minh rằng nếu ∝ và β khác \({\pi  \over 2} + k\pi \,(k \in Z)\) thì:     

\(\left\{ \matrix{
\tan \alpha + \tan \beta = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \hfill \cr
\tan \alpha - \tan \beta = {{\sin (\alpha - \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \hfill \cr} \right.\)

b) Chứng minh rằng với mọi ∝ mà cos k∝ ≠ 0 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) và sin ∝ ≠ 0 thì:

\({1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} + {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} \)

\(= {{\tan 8\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \tan \alpha + \tan \beta = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\sin \beta } \over {\cos \beta }} \cr&= {{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr
& = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr} \)

Tương tự: \(\tan \alpha  - \tan \beta  = {{\sin (\alpha  - \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }}\)

b) Ta có: \({1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} = {{\tan 2\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin (2\alpha  - \alpha )}} = {{\tan 2\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\)

Tương tự:

\(\eqalign{
& {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} = {{\tan 3\alpha - \tan 2\alpha } \over {\sin \alpha }};... \cr
& {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} = {{\tan 8\alpha - \tan 7\alpha } \over {\sin \alpha }} \cr} \)

Do đó: \({1 \over {\cos \alpha \cos 2\alpha }} + {1 \over {\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + {1 \over {\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} \)

\(= {{\tan 8\alpha  - \tan \alpha } \over {\sin \alpha }}\)

Bài 53 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao

Biết cosα +cosβ =a; sinα+sinβ =b (a,b là hằng số và a² + b² ≠ 0)

Hãy tính sin(α + β ) theo a và b

Đáp án

Ta có:

\(\left. \matrix{
a = 2\cos {{\alpha + \beta } \over 2}\cos {{\alpha - \beta } \over 2} \hfill \cr
b = 2\sin {{\alpha + \beta } \over 2}\sin {{\alpha - \beta } \over 2} \hfill \cr} \right\} \)

\(\Rightarrow ab = 2\sin (\alpha + \beta )co{s^2}{{\alpha - \beta } \over 2}\) 

Mặt khác: \({a^2} + {b^2} = 4{\cos ^2}{{\alpha  - \beta } \over 2}\)

Do đó:  \(\sin (\alpha  + \beta ) = {{2ab} \over {{a^2} + {b^2}}}\)

Bài 54 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao

Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O, với vận tốc ban đầu là v(m/s) theo phương hợp với trục hoành (nằm ngang) Ox một góc α , \(0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\) là parabol có phương trình :

 \(y =  - {g \over {2{v^2}{{\cos }^2}\alpha }}{x^2} + (\tan \alpha )x\)                                                      

Trong đó g là gia tốc trọng trường (g ≈ 9,8m/s²) (giả sử lực cản của không khí là không đáng kể).

Gọi tầm xa của quỹ đạo là khoảng cách từ O đến giao điểm khác O của quỹ đạo với Ox.

a) Tính tầm xa theo α (và v)

b) Khi v không đổi, α thay đổi trong khoảng \((0,\,{\pi  \over 2})\) , hỏi giá trị α nào thì tầm xa của quỹ đạo đạt được giá trị lớn nhất? Tính giá trị đó theo v. Khi v = 80m/s. Hãy tính giá trị lớn nhất đó (chính xác đến hàng đơn vị).

Đáp án

a) Gọi x là tầm xa của quỹ đạo, thì: 

\(\left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
- {{g{x^2}} \over {2{v^2}{{\cos }^2}\alpha }} + (\tan \alpha )x = 0 \hfill \cr} \right.\)

tức là: \(x = {{2{v^2}\sin \alpha \cos \alpha } \over g} = {{{v^2}} \over g}\sin 2\alpha \)

b) x đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \(\sin 2\alpha  = 1 \Rightarrow \alpha  = {\pi  \over 4}\)

Khi đó: \(x = {{{v^2}} \over g}\)

Với \(v = 80m/s\) thì \({{{v^2}} \over g} \approx {{{{80}^2}} \over {9,8}} \approx 653(m)\)

Giaibaitap.me