Trang chủ
Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết
Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải bài tập Toán 10 Nâng cao

CHƯƠNG 6. GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Giải bài tập trang 215, 216 bài 4 một số công thức lượng giác SGK Đại số 10 Nâng cao. Câu 49: Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x...

Bài 49 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a) \(co{s^2}\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha {\rm{ }} + x} \right);\)

b) \(sin4x.sin10x - sin11x.sin3x - sin7x.sinx\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& co{s^2}\left( {\alpha + x} \right) + co{s^2}x - 2cos\alpha {\rm{ }}cosx.cos\left( {\alpha + x} \right) \cr
& = \cos (\alpha + x){\rm{[}}\cos (\alpha + x) - 2\cos \alpha \cos x {\rm{] + co}}{{\rm{s}}^2}x \cr
& = \cos (\alpha + x)( - \cos \alpha \cos x- \sin \alpha \sin x ) + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x \cr
& = - \cos (\alpha + x)cos(\alpha - x) + {\cos ^2}x \cr
& = - {1 \over 2}(cos2\alpha + \cos 2x) + {\cos ^2}x \cr
& = - {1 \over 2}\cos 2\alpha - {{\cos 2x} \over 2} + {\cos ^2}x = - {1 \over 2}\cos 2\alpha + {1 \over 2} \cr
& = {\sin ^2}\alpha \cr} \)

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.

b) Ta có:

\(\eqalign{
& sin4x.sin10x - sin11x.sin3x - sin7x.sinx \cr
& = {1 \over 2}(cos6x - \cos 14x) - {1 \over 2}(cos8x - \cos 14x) \cr&- {1 \over 2}(cos6x - \cos 8x) \cr
& = 0 \cr} \)

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào x.

 

Bài 50 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:

a) \(sinA = cosB + cosC\) thì ΔABC vuông

b) \(sinA = 2sinB.cosC\) thì ΔABC cân

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& sinA = cosB + cosC\cr& \Rightarrow \sin A = 2\cos {{B + C} \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {A \over 2}(cos{A \over 2} - \cos {{B - C} \over 2}) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2}\;(\sin{A \over 2} \ne 0\,do\,0 < A < \pi ) \cr} \)

Nhưng: \(0 < {A \over 2} < {\pi  \over 2};|{{B - C} \over 2}|\, < {\pi  \over 2}\) , nên:

\(\cos {A \over 2} = \cos {{B - C} \over 2} \Leftrightarrow {A \over 2} = |{{B - C} \over 2}|\, \Leftrightarrow A = |B - C|\)

+ Nếu B > C thì A = B – C. Suy ra: \(S = {\pi  \over 2}\)

+ Nếu B < C thì A = C – B. Suy ra: \(C = {\pi  \over 2}\)

b) \(sinA = 2sinB.cosC \)

\(⇔ sin A = sin (B + C) + sin (B – C)\)

\(⇔ sin A = sin(π – A) + sin(B – C) \)

\(⇔ sin(B – C) = 0\)

Vì \(0 ≤ |B – C| ≤ π\), nên \(B – C = 0\)

Vậy tam giác ABC cân tại A.

 


Bài 51 trang 216 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng nếu \(∝ + β + γ = π\) thì

a) \(\sin \alpha  + \sin \beta  + \sin \gamma  = 4\cos {\alpha  \over 2}\cos {\beta  \over 2}\cos {\gamma  \over 2}\)

b) \(\cos \alpha  + \cos \beta  + \cos \gamma  = 1 + 4\sin {\alpha  \over 2}\sin {\beta  \over 2}\sin {\gamma  \over 2}\)

c) \(sin2∝ + sin2β + sin2γ = 4sin∝ sinβ sin γ\)

d) \(co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }}= 1 – 2cos∝ cosβ cosγ\)

 Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma\cr& = \sin \alpha + 2\sin {{\beta + \gamma } \over 2}\cos {{\beta - \gamma } \over 2} \cr
& = \sin \alpha + 2\sin {{\pi - \alpha } \over 2}\cos {{\beta - \gamma } \over 2} \cr&= 2\sin {\alpha \over 2}\cos {\alpha \over 2} + 2\cos {\alpha \over 2}  \cos {{\beta - \gamma } \over 2} \cr
& = 2\cos {\alpha \over 2}(\sin {\alpha \over 2} + \cos {{\beta - \gamma } \over 2})\cr& = 2\cos {\alpha \over 2}{\rm{[sin}}{{\pi - (\beta + \gamma )} \over 2} + \cos{{\beta - \gamma } \over 2}{\rm{]}} \cr
& = 2\cos {\alpha \over 2}(cos{{\beta + \gamma } \over 2} + \cos {{\beta - \gamma } \over 2}) \cr
& =4\cos {\alpha \over 2}\cos {\beta \over 2}\cos {\gamma \over 2} \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \cr&= 2\cos {{\alpha + \beta } \over 2}\cos {{\alpha - \beta } \over 2} + 1 - 2\sin {{2\gamma } \over 2} \cr
& = 2\cos ({\pi \over 2} - {\gamma \over 2})cos{{\alpha - \beta } \over 2} + 1 - 2{\sin ^2}{\gamma \over 2} \cr&= 1 + 2\sin {\gamma \over 2}(cos{{\alpha - \beta } \over 2} - \sin {\gamma \over 2}) \cr
& = 1 + 2\sin {\gamma \over 2}(cos{{\alpha - \beta } \over 2} - cos{{\alpha + \beta } \over 2}) \cr
& = 1 + 4\sin {\alpha \over 2}\sin {\beta \over 2}\sin {\gamma \over 2} \cr} \)

c) \(sin2∝ + sin2β + sin2γ\)

\(= 2sin (∝ + β)cos(∝ - β ) + 2sinγcosγ\)

\(= 2sinγ (cos(∝ - β ) - cos(∝ + β)) \)

\(= 4sin∝ sinβ sin γ\)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& co{s^2} \propto + {\rm{ }}co{s^2}\beta + co{s^2}\gamma {\rm{ }} \cr
& {\rm{ = }}{{1 + \cos 2\alpha } \over 2} + {{1\cos 2\beta } \over 2} + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + {1 \over 2}(cos2\alpha + \cos 2\beta ) + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + \cos (\alpha + \beta )cos(\alpha - \beta ) + {\cos ^2}\gamma \cr
& = 1 + \cos \gamma (\cos \gamma - \cos (\alpha - \beta )) \cr&= 1 - \cos \gamma {\rm{[cos(}}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{) + cos(}}\alpha {\rm{ - }}\beta ){\rm{]}} \cr
& = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2cos \propto {\rm{ }}cos\beta {\rm{ }}cos\gamma \cr} \)

Giaibaitap.me

Góp ý - Báo lỗi

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Giaibaitap.me

Bài giải mới nhất

Bài giải mới nhất các môn khác