Bài 49 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao

Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) 3x² - 2x + 1

b) -x² + 4x – 1

c) \({x^2} - \sqrt 3 x + {3 \over 4}\)

d) \((1 - \sqrt 2 ){x^2} - 2x + 1 + \sqrt 2 \)

Giải

a) Ta có:

a = 3 > 0

Δ’ = 1 – 3 = -2 < 0

⇒ 3x² – 2x + 1 > 0 ∀x  ∈ R

b) Ta có:

a = -1 < 0

Δ’ = 4 – 1 = 3 > 0

Tam thức -x² + 4x – 1 có hai nghiệm phân biệt \(x = 2 \pm \sqrt 3 \)

c) Ta có:

a = 1 > 0

Δ = 3 – 3 = 0

\({x^2} - \sqrt 3 x + {3 \over 4}\) có nghiệm kép  \(x = {{\sqrt 3 } \over 2}\)

\( \Rightarrow {x^2} - \sqrt 3 x + {3 \over 4} > 0;\,\forall x \ne {{\sqrt 3 } \over 2}\)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& a = 1 - \sqrt 2 < 0 \cr
& (1 - \sqrt 2 ){x^2} - 2x + 1 + \sqrt 2 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 3 - 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng xét dấu:

Bài 50 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:

a) (m²+2)x² - 2(m+1)x + 1

b) (m+2)x² + 2(m+2)x + m + 3

Giải

a) Vì m² + 2 > 0 nên (m²+2)x² - 2(m+1)x + 1 > 0 ∀x ∈ R

⇔ Δ’ = (m + 1)² – (m² + 2) < 0 ⇔ 2m – 1< 0

\( \Leftrightarrow m < {1 \over 2}\)

Vậy với \(m < {1 \over 2}\) thì (m²+2)x² - 2(m+1)x + 1 > 0 ∀ x ∈ R

b) Với \(m = -2\) thì ta có: \(f(x) = 1 >0, ∀x ∈\mathbb R\)

Với \(m ≠ -2\) ta có: \(f(x) > 0, ∀x ∈ R\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a > 0 \hfill \cr
\Delta ' < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m + 2 > 0 \hfill \cr
{(m + 2)^2} - (m + 2)(m + 3) < 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > - 2 \hfill \cr
- m - 2 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > - 2\) 

Vậy \(f(x) > 0, ∀x ∈\mathbb R  ⇔ m ≥ -2\)

Bài 51 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm.

a) \( - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1\)        

b) \(\left( {m - 2} \right){\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}2\left( {m - 3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }}-{\rm{ }}1\)

Giải

a) Vì \(a = -1 < 0\) nên:

\(\eqalign{
& - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1 < 0\,\forall x \in R \cr
& \Leftrightarrow \Delta ' = 2{m^2} - (2{m^2} + 1) < 0 \cr
& \Leftrightarrow - 1 < 0 \cr} \)

Ta thấy điều suy ra luôn đúng

Vậy với mọi m thì \( - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1 < 0; ∀x ∈\mathbb R \)

b) Đặt \(f(x) = \left( {m - 2} \right){\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}2\left( {m - 3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }}-{\rm{ }}1\)

+ Với \(m = 2\) thì \(f(x) = 2x + 1\) không thỏa mãn điều kiện yêu cầu bài toán

+ Với \(m ≠ 2\) thì: \(f(x) < 0, ∀x ∈\mathbb R \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a < 0 \hfill \cr
\Delta ' < 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m - 2 < 0 \hfill \cr
{(m - 3)^2} - (m - 2)(m - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m < 2 \hfill \cr
- 3m + 7 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m < 2 \hfill \cr
m > {7 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Ta không tìm được m thỏa mãn hệ thức trên

Do đó, không có giá trị nào của m để \(f(x) < 0; ∀x ∈\mathbb R\)

Bài 52 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.

Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:

 \(f(x) = a{\rm{[(x}}\,{\rm{ + }}{b \over {2a}}{)^2} - {\Delta  \over {4{a^2}}}{\rm{]}}\)

Hay \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} - {\Delta  \over {4{a^2}}}]\)

Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂) hay af(x) = a²(x – x₁)(x – x₂)

trong đó, x₁ và x₂ là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x)

Đáp án

Ta có: \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} - {\Delta  \over {4{a^2}}}]\)

+ Nếu Δ < 0  thì af(x) > 0 với mọi x ∈ R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ R

+ Nếu Δ = 0 thì \(af(x) = {a^2}{(x + {b \over {2a}})^{^2}}\) khi đó af(x) > 0 với mọi \(x \ne  - {b \over {2a}}\)

+ Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ và:

f(x) = a(x – x₁)(x – x₂)

Do đó: af(x) = a²(x – x₁)(x – x₂)

Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x – x₁)(x – x₂).

Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x₁ < x₂)

Do đó: af(x) < 0 với mọi x ∈ (x₁, x₂)

Và af(x) > 0 với mọi x < x₁ hoặc x > x₂

Giaibaitap.me