Bài 65 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) |x² – 5x + 4| = x² + 6x + 5

b) |x – 1| = 2x – 1

c) |-x² + x – 1| ≤ 2x + 5

d) |x² – x|  ≤ |x² – 1|

Đáp án

a) Điều kiện:

x²+ 6x + 5 ≥ 0 

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le - 5 \hfill \cr
x \ge - 1 \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& |{x^2} - 5x + 4| = {x^2} + 6x + 5 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} - 5x + 4 = {x^2} + 6x + 5 \hfill \cr
{x^2} - 5x + 4 = - {x^2} - 6x - 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 11x = 1 \hfill \cr
2{x^2} + x + 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = - {1 \over {11}} \cr} \)

Ta thấy giá trị x vừa tìm được thỏa mãn điều kiện của đề bài.

Vậy \(S = {\rm{\{  - }}{1 \over {11}}{\rm{\} }}\)

b) Điều kiện: \(x \ge {1 \over 2}\)

Ta có:

\(|x - 1| = 2x - 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - 1 = 2x - 1 \hfill \cr
x - 1 = 1 - 2x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0\,\, \hfill \cr
x = {2 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Ta thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện đề bài

Vậy \(S = {\rm{\{ }}{2 \over 3}{\rm{\} }}\)

c) Vì -x² + x – 1 < 0 với ∀x ∈ R nên:

|-x² + x – 1| ≤ 2x + 5 ⇔ x² – x + 1 ≤ 2x + 5

⇔ x² – 3x + 4 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4

Vậy S = [-1, 4]

d) Ta có:

|x² – x|  ≤ |x² – 1|

⇔  (x² – x)² – (x² – 1)² ≤ 0

⇔ (1 – x)(2x² – x – 1) ≤  0 ⇔ (x – 1)²(2x + 1) ≥ 0

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
2x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - {1 \over 2}\)

Vậy \(S = {\rm{[}} - {1 \over 2}; + \infty )\)

Bài 66 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {2{x^2} + 4x - 1}  = x + 1\)

b) \(\sqrt {4{x^2} + 101x + 64}  = 2(x + 10)\)

c) \(\sqrt {{x^2} + 2x}  =  - 2{x^2} - 4x + 3\)

d) \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = {x^2} + 3x - 4\)

Hướng dẫn:

c) Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) ,

ta được phương trình: y = -2y² + 3

d) Vì (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2 nên ta đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = y;\,\,y \ge 0\)   ,

ta được phương trình y = y² - 6   

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {2{x^2} + 4x - 1} = x + 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 10 \hfill \cr
2{x^2} + 4x - 1 = {(x + 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 1 \hfill \cr
{x^2} + 2x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = - 1 + \sqrt 3 \cr} \)

Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 + \sqrt 3 {\rm{\} }}\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 10 \hfill \cr
4{x^2} + 101x + 64 = 4{(x + 10)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 10 \hfill \cr
21x = 336 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 16 \cr} \) 

Vậy S = {16}

c) Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) , ta có phương trình:

\(\eqalign{
& y = - 2{y^2} + 3 \Leftrightarrow 2{y^2} + y - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 1 \hfill \cr
y = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Ta thấy y = 1 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0

Nên: \(y = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x}  = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt 2 \)

Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 - \sqrt 2 , - 1 + \sqrt 2 {\rm{\} }}\)

d) Đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)}  = y;\,\,y \ge 0\) , suy ra:

x² + 3x = y² – 2

Ta có phương trình:

\(y = {y^2} - 6 \Leftrightarrow {y^2} - y - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 3 \hfill \cr
y = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta thấy y = 3 thỏa mãn điều kiện y ≥ 0, nên:

\(\eqalign{
& y = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 7 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = {{ - 3 \pm \sqrt {37} } \over 2} \cr} \)

Vậy: \(S = {\rm{\{ }}{{ - 3 - \sqrt {37} } \over 2};\,{{ - 3 + \sqrt {37} } \over 2}{\rm{\} }}\)

Bài 67 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các bất phương trình:

a) \(\sqrt {{x^2} + x - 6}  < x - 1\)

b) \(\sqrt {2x - 1}  \le 2x - 3\)

c) \(\sqrt {2{x^2} - 1}  > 1 - x\)

d) \(\sqrt {{x^2} - 5x - 14}  \ge 2x - 1\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x - 6} < x - 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + x - 6 \ge 0 \hfill \cr
x - 1 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 < {(x - 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le 3 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x > 1 \hfill \cr
3x < 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < {7 \over 3} \cr} \)

Vậy \(S = {\rm{[}}2,{7 \over 3})\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {2x - 1} \le 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x - 1 \ge 0 \hfill \cr
2x - 3 \ge 0 \hfill \cr
2x - 1 \le {(2x - 3)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge {1 \over 2} \hfill \cr
x \ge {3 \over 2} \hfill \cr
4{x^2} - 14x + 10 \ge 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge {3 \over 2} \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr
x \ge {5 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge {5 \over 2} \cr} \) 

Vậy \(S = {\rm{[}}{5 \over 2}; + \infty )\)

c) Ta có: 

\(\eqalign{
& \sqrt {2{x^2} - 1} > 1 - x \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
1 - x < 0 \hfill \cr
2{x^2} - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
1 - x \ge 0 \hfill \cr
2{x^2} - 1 > {(1 - x)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x > 1 \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr
{x^2} + 2x - 2 > 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 1 \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \le 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < - 1 - \sqrt 3 \hfill \cr
x > - 1 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < - 1 - \sqrt 3 \hfill \cr
x > - 1 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = ( - \infty , - 1 - \sqrt 3 ) \cup ( - 1 + \sqrt 3 , + \infty )\)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 5x - 14} \ge 2x - 1 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
2x - 1 < 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
2x - 1 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge {(2x - 1)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x < {1 \over 2} \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr
x \ge 7 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge {1 \over 2} \hfill \cr
3{x^2} + x + 15 \le 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 2 \cr} \) 

Vậy \(S = (-∞, -2]\)

Bài 68 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {|{x^2} + 3x - 4| - x + 8} \)

b) \(y = \sqrt {{{{x^2} + x + 1} \over {|2x - 1| - x - 2}}} \)

c) \(y = \sqrt {{1 \over {{x^2} - 7x + 5}} - {1 \over {{x^2} + 2x + 5}}} \)

d) \(\sqrt {\sqrt {{x^2} - 5x - 14}  - x + 3}\)

Đáp án

a) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& |{x^2} + 3x - 4| - x + 8 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \,|{x^2} + 3x - 4|\,\, \ge x - 8 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} + 3x - 4 \ge x - 8 \hfill \cr
{x^2} + 3x - 4 \le 8 - x \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} + 2x + 4 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 4x - 12 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \forall x \in R \cr} \) 

Vậy \(S =\mathbb R\)

b) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \({{{x^2} + x + 1} \over {|2x - 1| - x - 2}} \ge 0\)

Vì x² + x + 1 > 0 với mọi x ∈ R nên bất phương trình trên tương đương với bất phương trình \(|2x – 1| - x – 2 > 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow |2x - 1| > x + 2 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - 1 > x + 2 \hfill \cr
2x - 1 < - x - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x > 3 \hfill \cr
x < - {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = ( - \infty , - {1 \over 3}) \cup (3, + \infty )\)

c) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& {1 \over {{x^2} - 7x + 5}} - {1 \over {{x^2} + 2x + 5}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2} + 2x + 5 - ({x^2} - 7x + 5)} \over {({x^2} - 7x + 5)({x^2} + 2x + 5)}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{9x} \over {({x^2} - 7x + 5)({x^2} + 2x + 5)}} \ge 0 \cr&\Leftrightarrow {x \over {{x^2} - 7x + 5}} \ge 0\,\,({x^2} + 2x + 5 > 0\,\,\,\forall x) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
0 \le x < {{7 - \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr
x > {{7 + \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = {\rm{[}}0,\,{{7 - \sqrt {29} } \over 2}) \cup ({{7 + \sqrt {29} } \over 2}, + \infty )\)

d) Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 5x - 14} - x + 3 \ge 0 \cr&\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x - 14} \ge x - 3 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x - 3 < 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x - 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge {(x - 3)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x < 3 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr
x \ge 7 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge 3 \hfill \cr
x \ge 23 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr
x \ge 23 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = (-∞; -2] ∪ [23, +∞)\)

Giaibaitap.me