Bài 61 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {(2x + 5)(1 - 2x)} \)

b) \(y = \sqrt {{{{x^2} + 5x + 4} \over {2{x^2} + 3x + 1}}} \)

Đáp án

a) Hàm số đã cho xác định

\(⇔ (2x + 5)(1 – 2x) ≥ 0\)

\( \Leftrightarrow  - {5 \over 2} \le x \le {1 \over 2}\)

Vậy tập xác định \(D = {\rm{[}} - {5 \over 2},{1 \over 2}{\rm{]}}\)

b) Hàm số đã cho xác định:

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{{x^2} + 5x + 4} \over {2{x^2} + 3x + 1}} \ge 0 \Leftrightarrow {{(x + 1)(x + 4)} \over {(x + 1)(2x + 1)}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr
{{x + 4} \over {2x + 1}} \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le - 4 \hfill \cr
x > - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le - 4 \hfill \cr
x > - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Vậy tập xác định của hàm số là: \(S = ( - \infty , - 4{\rm{]}} \cup ( - {1 \over 2}, + \infty )\)

Bài 62 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các hệ bất phương trình

a) 

\(\left\{ \matrix{
4x - 3 < 3x + 4 \hfill \cr
{x^2} - 7x + 10 \le 0 \hfill \cr} \right.\)

b) 

\(\left\{ \matrix{
2{x^2} + 9x - 7 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 \le 0 \hfill \cr} \right.\)

c)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 9 < 0 \hfill \cr
(x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \ge 0 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án

a) Ta có: 

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4x - 3 < 3x + 4 \hfill \cr
{x^2} - 7x + 10 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 7 \hfill \cr
2 \le x \le 5 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow 2 \le x \le 5\)

Vậy \(S = [2, 5]\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2{x^2} + 9x - 7 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x < {{ - 9 - \sqrt {137} } \over 4} \hfill \cr
x > {{ - 9 + \sqrt {137} } \over 4} \hfill \cr} \right. \hfill \cr
- 3 \le x \le 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow {{ - 9 + \sqrt {137} } \over 4} < x < 2 \cr} \) 

Vậy \(S = ({{ - 9 + \sqrt {137} } \over 4};2{\rm{]}}\)

c) Ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x^2} - 9 < 0 \hfill \cr
(x - 1)(3{x^2} + 7x + 4) \ge 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 3 < x < 3 \hfill \cr
\left[ \matrix{
- {4 \over 3} \le x \le - 1 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- {4 \over 3} \le x \le - 1 \hfill \cr
1 \le x \le 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(S = \,{\rm{[}} - {4 \over 3},\, - 1{\rm{]}}\, \cup {\rm{[}}1,\,3)\)

Bài 63 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x, ta luôn có:

\( - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7\)

Đáp án

Vì 2x² – 3x + 3 > 0 ∀x ∈ R (do a = 3 > 0; Δ = -15 < 0)

Nên:

\(\eqalign{
& - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7 \cr&\Leftrightarrow - 2{x^2} + 3x - 2 \le {x^2} + 5x + a < \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;7(2{x^2} - 3x + 2) \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{x^2} + 2x + a + 2 \ge 0 \hfill \cr
13{x^2} - 26x - a + 14 > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)

Hệ (1) tương đương với mọi x:

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\Delta {'_1} = 1 - 3(a + 2) \le 0 \hfill \cr
\Delta {'_2} = 169 - 13(14 - a) < 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3a \ge - 5 \hfill \cr
13a < 13 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - {5 \over 3} \le a < 1\)

Bài 64 trang 136 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + 2x - 15 < 0 \hfill \cr
(m + 1)x \ge 3 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án

Ta có: x² + 2x – 15 < 0 ⇔ -5 < x < 3

Ta xét bất phương trình: (m + 1)x ≥ 3  (*)

+ Nếu m = -1 thì S = Ø

+ Nếu m > -1 thì: \((*) \Leftrightarrow x \ge {3 \over {m + 1}}\)

Hệ có nghiệm: 

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{3 \over {m + 1}} < 3 \hfill \cr
m > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > 0 \hfill \cr
m > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

+ Nếu m < -1 thì \((*) \Leftrightarrow x \le {3 \over {m + 1}}\)

Hệ có nghiệm: 

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{3 \over {m + 1}} > - 5 \hfill \cr
m + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3 < - 5m - 5 \hfill \cr
m < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < - {8 \over 5}\)

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: 

\(\left[ \matrix{
m < - {8 \over 5} \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr} \right.\)

Giaibaitap.me