Bài 46 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) \(sin3α = 3sinα – 4si{n^3}\alpha \) ; \( cos3α =4co{s^3}\alpha – 3cosα\)

b)

\(\eqalign{
& \sin \alpha \sin ({\pi \over 3} - \alpha )\sin ({\pi \over 3} + \alpha ) = {1 \over 4}\sin 3\alpha \cr
& \cos \alpha \cos ({\pi \over 3} - \alpha )cos({\pi \over 3} + \alpha ) = {1 \over 4}\cos 3\alpha \cr} \)

Ứng dụng: Tính: sin 20⁰ sin 40⁰ sin 80⁰ và tan 20⁰ tan 40⁰ tan 80⁰

Đáp án

a) Ta có:

\(sin3α = sin (2α  + α) = sin 2α  cosα + sinα cos 2α\)

\( = {\rm{ }}2{\rm{ }}sin\alpha {\rm{ }}co{s^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}sin\alpha {\rm{ }}(1{\rm{ }}-{\rm{ }}2si{n^2}\alpha )\)

\(= {\rm{ }}2sin\alpha {\rm{ }}(1{\rm{ }}-{\rm{ }}si{n^2}\alpha ){\rm{ }} + {\rm{ }}sin(1{\rm{ }}-{\rm{ }}si{n^2}\alpha ){\rm{ }}\)

\(= {\rm{ }}3sin\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}4si{n^3}\alpha \)

\(cos3α = cos (2α  + α) = cos 2α  cosα  - sin2α sinα\)

\(= {\rm{ }}(2co{s^2}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}1)cos\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}2si{n^2}\alpha {\rm{ }}cos\alpha \)

\( = {\rm{ }}2co{s^3}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}cos\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}(1{\rm{ }}-{\rm{ }}co{s^2}\alpha ){\rm{ }} \)

\(= {\rm{ }}4co{s^3}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}3cos\alpha \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin \alpha \sin ({\pi \over 3} - \alpha )\sin ({\pi \over 3} + \alpha ) \cr&= sin\alpha .{1 \over 2}(cos2\alpha - \cos {{2\pi } \over 3}) \cr
& = {1 \over 2}\sin \alpha (1 - 2{\sin ^2}\alpha + {1 \over 2}) = {1 \over 4}\sin \alpha (3 - 4{\sin ^2}\alpha ) \cr
& = {1 \over 4}\sin 3\alpha \cr
& \cos \alpha \cos ({\pi \over 3} - \alpha )cos({\pi \over 3} + \alpha ) \cr&= \cos \alpha .{1 \over 2}(cos\alpha + \cos {{2\pi } \over 3}) \cr
& = {1 \over 2}\cos \alpha (2{\cos ^2}\alpha - 1 - {1 \over 2}) \cr&= {1 \over 4}\cos \alpha (4{\cos ^2}\alpha - 3) = {1 \over 4}\cos 3\alpha \cr} \)

Ứng dụng:

\(\eqalign{
& \sin {20^0}\sin {40^0}\sin {80^0} \cr&= \sin {20^0}\sin ({60^0} - {20^0})\sin ({60^0} + {20^0}) \cr
& = {1 \over 4}\sin ({3.20^0}) = {1 \over 4}\sin {60^0} = {{\sqrt 3 } \over 8} \cr
& \cos {20^0}\cos {40^0}\cos {80^0} = {1 \over 4}\cos ({3.20^0}) = {1 \over 8} \cr} \) 

Vậy : \(\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0} = \sqrt 3 \)

Bài 47 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rồi dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số để kiểm nghiệm lại gần đúng kết quả.

a) \(\cos {10^0}\cos {50^0}\cos {70^0} = \sin {20^0}\sin {40^0}\sin {80^0} = {{\sqrt 3 } \over 8}\)

b) \(\sin {10^0}\sin {50^0}\sin {70^0} = \cos {20^0}\cos {40^0}\cos {80^0} = {1 \over 8}\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos {10^0}\cos {50^0}\cos {70^0}\cr& = \cos {10^0}{\rm{[}}{1 \over 2}(cos{120^0} + \cos {20^0}){\rm{]}} \cr
& = - {1 \over 4}\cos {10^0} + {1 \over 2}\cos {10^0}\cos {20^0} \cr
& = - {1 \over 4}\cos {10^0} + {1 \over 4}(cos{30^0} + \cos {10^0})\cr& = {1 \over 4}\cos {30^0} = {{\sqrt 3 } \over 8} \cr
& \sin {20^0}\sin {40^0}\sin {80^0} = \cos {70^0}\cos {50^0}\cos {10^0} \cr&= {{\sqrt 3 } \over 8} \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin {10^0}\sin {50^0}\sin {70^0}\cr& = {1 \over 2}(cos{20^0} - \cos {120^0})\sin {10^0} \cr
& = {1 \over 4}\sin {10^0} + {1 \over 2}\sin {10^0}\cos {20^0} \cr
& = {1 \over 4}\sin {10^0} + {1 \over 4}(\sin {30^0} - \sin {10^0}) \cr&= {1 \over 4}\sin {30^0} = {1 \over 8} \cr
& \cos {20^0}\cos {40^0}\cos {80^0} = \sin {10^0}\sin {50^0}\sin {70^0} = {1 \over 8} \cr} \)

Bài 48 trang 215 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng: \(\cos {{2\pi } \over 7} + \cos {{4\pi } \over 7} + \cos {{6\pi } \over 7} =  - {1 \over 2}\)

Hướng dẫn: Nhân vế trái với \({\pi  \over 7}\) (hoặc \({{2\pi } \over 7}\) ) rồi sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Đáp án

Đặt \(A = \cos {{2\pi } \over 7} + \cos {{4\pi } \over 7} + \cos {{6\pi } \over 7}\) , ta có:

\(\eqalign{
& 2A\sin {\pi \over 7} = 2\cos {{2\pi } \over 7}\sin {\pi \over 7} + 2\cos {{4\pi } \over 7}\sin {\pi \over 7}\cr& + 2\cos {{6\pi } \over 7}\sin {\pi \over 7} \cr
& = (\sin {{3\pi } \over 7} - \sin {\pi \over 7}) + (\sin {{5\pi } \over 7} - \sin {{3\pi } \over 7})\cr&+ (\sin {{7\pi } \over 7} - \sin {{5\pi } \over 7}) = - sin{\pi \over 7} \cr
& \Rightarrow A = - {1 \over 2} \cr} \)

Giaibaitap.me