Bài 42 trang 214 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) \(\sin {{11\pi } \over {12}}\cos {{5\pi } \over {12}} = {1 \over 4}(2 - \sqrt 3 )\)

b) \(\cos {\pi  \over 7}\cos {{3\pi } \over 7}\cos {{5\pi } \over 7} =  - {1 \over 8}\)

c) \(\sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^0}\sin {78^0} = {1 \over 6}\) (Hướng dẫn: Nhân hai vế với cos 6⁰)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin {{11\pi } \over {12}}\cos {{5\pi } \over {12}} = \sin (\pi - {\pi \over {12}})cos({\pi \over 2} - {\pi \over {12}}) \cr
& = {\sin ^2}{\pi \over {12}} = {1 \over 2}(1 - \cos {\pi \over 6}) = {1 \over 2}(1 - {{\sqrt 3 } \over 2})\cr& = {1 \over 4}(2 - \sqrt 3 ) \cr} \)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos {{3\pi } \over 7} = \cos (\pi - {{4\pi } \over 7}) = - \cos {{4\pi } \over 7} \cr
& \cos {{5\pi } \over 7} = \cos (\pi - {{2\pi } \over 7}) = - \cos {{2\pi } \over 7} \cr} \) 

Nên:

\(\eqalign{
& \cos {\pi \over 7}\cos {{3\pi } \over 7}\cos {{5\pi } \over 7} = \cos {\pi \over 7}\cos {{2\pi } \over 7}\cos {{4\pi } \over 7} \cr
& = {1 \over {\sin {\pi \over 7}}}(\sin {\pi \over 7}\cos {\pi \over 7})\cos {{2\pi } \over 7}\cos {{4\pi } \over 7}\cr& = {1 \over {\sin {\pi \over 7}}}.{1 \over 2}(\sin {{2\pi } \over 7}\cos {{2\pi } \over 7}).cos{{4\pi } \over 7} \cr
& = {1 \over {\sin {\pi \over 7}}}.{1 \over 4}\sin {{4\pi } \over 7}.cos{{4\pi } \over 7} = {1 \over {8\sin {\pi \over 7}}}.\sin {{8\pi } \over 7} \cr
& = {{ - \sin {\pi \over 7}} \over {8\sin {\pi \over 7}}} = - {1 \over 8} \cr} \) 

c) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^0}\sin {78^0} \cr&= \sin {6^0}\cos {48^0}\cos {24^0}\cos {12^0} \cr
& = {1 \over {\cos {6^0}}}(\sin {6^0}\cos {6^0})cos{12^0}\cos {24^0}\cos {48^0} \cr
& ={1 \over {\cos {6^0}}}\left( {{1 \over 2}\sin {{12}^0}\cos {{12}^0}} \right)cos{24^0}.cos{48^0}\cr&={1 \over {\cos {6^0}}}.{1 \over 4}\sin{24^0}\cos{24^0}.\cos{48^0}\cr&= {1 \over {\cos {6^0}}}.{1 \over 8}\sin {48^0}\cos {48^0} \cr
& = {1 \over {\cos {6^0}}}.{1 \over {16}}.\sin {96^0} = {{\cos {6^0}} \over {16\cos {6^0}}} = {1 \over {16}} \cr} \)

Bài 43 trang 214 SGK Đại số 10 Nâng cao

Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

a) \(\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}\)

b) \(\cos {75^0}\sin {15^0} = {{2 - \sqrt 3 } \over 4}\)

c) \(\sin {75^0}\cos {15^0} = {{2 + \sqrt 3 } \over 4}\)

d) \(\cos \alpha \sin (\beta  - \gamma ) + \cos \beta \sin (\gamma  - \alpha ) \)

\(+ \cos \gamma \sin (\alpha  - \beta ) = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma \)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos {75^0}\cos {15^0} = {1 \over 2}(\cos {90^0} + \cos {60^0}) = {1 \over 4} \cr
& \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 2}(cos{60^0} - \cos {90^0}) = {1 \over 4} \cr} \)

Vậy \(\cos {75^0}\cos {15^0} = \sin {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 4}\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos {75^0}\sin {15^0} = {1 \over 2}(\sin {90^0} - \sin {60^0}) \cr
& = {1 \over 2}(1 - {{\sqrt 3 } \over 2}) = {{2 - \sqrt 3 } \over 4} \cr} \) 

c) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin {75^0}\cos {15^0} = {1 \over 2}(\sin {90^0} + \sin {60^0}) \cr
& = {1 \over 2}(1 + {{\sqrt 3 } \over 2}) = {{2 + \sqrt 3 } \over 4} \cr} \)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& \cos \alpha \sin (\beta - \gamma )\cr& = {1 \over 2}{\rm{[sin(}}\alpha {\rm{ + }}\beta - \gamma {\rm{)}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin(}}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{ + }}\gamma {\rm{)]}} \cr
& \cos \beta \sin (\gamma - \alpha ) \cr&= {1 \over 2}{\rm{[}}\sin (\beta + \gamma - \alpha {\rm{)}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin(}}\beta - \gamma + \alpha ){\rm{]}} \cr
& \cos \gamma \sin (\alpha - \beta ) \cr&= {1 \over 2}{\rm{[sin(}}\gamma {\rm{ + }}\alpha {\rm{ - }}\beta {\rm{)}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{sin(}}\gamma {\rm{ - }}\alpha {\rm{ + }}\beta {\rm{)]}} \cr} \)

Cộng các vế của ba đẳng thức, ta có:

\(\cos \alpha \sin (\beta  - \gamma ) + \cos \beta \sin (\gamma  - \alpha ) \)

\(+ \cos \gamma \sin (\alpha  - \beta ) = 0\,\,\,\,\,\forall \alpha ,\beta ,\gamma \)

Bài 44 trang 214 SGK Đại số 10 Nâng cao

Đơn giản các biểu thức sau:

a) \(\sin ({\pi  \over 3} + \alpha ) - \sin ({\pi  \over 3} - \alpha )\)

b) \({\cos ^2}({\pi  \over 4} + \alpha ) - {\cos ^2}({\pi  \over 4} - \alpha )\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\sin ({\pi  \over 3} + \alpha ) - \sin ({\pi  \over 3} - \alpha ) = 2\cos {\pi  \over 3}\sin \alpha  = \sin \alpha \)

b) Áp dụng: \({\cos ^2}a = {{1 + \cos 2a} \over 2}\) , ta có: 

\(\eqalign{
& {\cos ^2}({\pi \over 4} + \alpha ) - {\cos ^2}({\pi \over 4} - \alpha ) \cr&= {{1 + \cos ({\pi \over 2} + 2\alpha )} \over 2} - {{1 + \cos ({\pi \over 2} - 2\alpha )} \over 2} \cr
& = {1 \over 2}( - \sin 2\alpha - \sin 2\alpha ) = - \sin 2\alpha \cr} \)

Bài 45 trang 214 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) \({{\sin \alpha  - \sin \beta } \over {\cos \alpha  - \cos \beta }} =  - \sqrt 3 \) nếu 

\(\left\{ \matrix{
\alpha + \beta = {\pi \over 3} \hfill \cr
\cos \alpha \ne \cos \beta \hfill \cr} \right.\)

b)  \({{\cos \alpha  - \cos 7\alpha } \over {\sin 7\alpha  - sin\alpha }} = \tan 4\alpha \) (khi các biểu thức có nghĩa)

Đáp án

a)

\(\eqalign{
& {{\sin \alpha - \sin \beta } \over {\cos \alpha - \cos \beta }} = {{2\cos {{\alpha + \beta } \over 2}\sin {{\alpha - \beta } \over 2}} \over { - 2\sin {{\alpha + \beta } \over 2}\sin {{\alpha - \beta } \over 2}}} \cr
& = - \cot {{\alpha + \beta } \over 2} = - \cot {\pi \over 6} = - \sqrt 3 \cr} \)

b)  

\({{\cos \alpha  - \cos 7\alpha } \over {\sin 7\alpha  - sin\alpha }} = {{2\sin 4\alpha \sin 3\alpha } \over {2\cos 4\alpha \sin 3\alpha }} = \tan 4\alpha \)

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