Bài 34 trang 207 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) \({{1 - 2\sin \alpha \,\cos \alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }} = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\) khi các biểu thức đó có nghĩa

b) \(ta{n^2}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}si{n^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}ta{n^2}\alpha {\rm{ }}si{n^2}\alpha \)

c) \(2(1{\rm{ }}-\sin\alpha {\rm{ }})\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}cos\alpha } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sin\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}\cos\alpha {\rm{ }}} \right)^2}\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {{1 - 2\sin \alpha \,\cos \alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }} = {{{{(cos\alpha - \sin \alpha )}^2}} \over {(cos\alpha - \sin \alpha )(cos\alpha + \sin \alpha )}} \cr
& = {{(cos\alpha - \sin \alpha )} \over {(cos\alpha + \sin \alpha )}} = {{\cos \alpha (1 - \tan \alpha )} \over {\cos \alpha (1 + tan\alpha )}} \cr
& = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} \cr} \) 

b) Ta có:

\(ta{n^2}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}si{n^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}ta{n^2}\alpha ({\rm{ }}1 - {\rm{ }}co{s^2}\alpha ){\rm{ }} = {\rm{ }}ta{n^2}\alpha {\rm{ }}si{n^2}\alpha \)

c) Ta có:

\(2(1-si{n}\alpha {\rm{ }})\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}cos\alpha } \right){\rm{ }}\)

\(= {\rm{ }}2{\rm{ }}-{\rm{ }}2sin\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}2sin\alpha {\rm{ }}cos\alpha \)

\( = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}2sin\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }} \)

    \(- {\rm{ }}2sin\alpha {\rm{ }}cos\alpha \)

\( = {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}sin\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}cos\alpha {\rm{ }}} \right)^2}\)

Bài 35 trang 207 SGK Đại số 10 Nâng cao

Biết \(\sinα -\cosα =m\), hãy tính \(si{n^3}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}co{s^3}\alpha \)

Đáp án

Ta có:

\(si{n^3}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}co{s^3}\alpha \)

\( = {\rm{ }}\left( {sin\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}cos\alpha } \right)(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}sin\alpha {\rm{ }}cos\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha )\)

\(= m(1 + sinα cosα)\)         (1)

Từ  \(\sinα – \cosα = m ⇒ 1 - 2\sinα \cosα  = m^2\)

⇒ \(\sin \alpha \,\cos \alpha  = {{1 - {m^2}} \over 2}\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Thay (2) vào (1) ta được:

\({\sin ^3}\alpha  - {\cos ^3}\alpha  = m(1 + {{1 - {m^2}} \over 2}) = {m \over 2}(3 - {m^2})\)

Bài 36 trang 207 SGK Đại số 10 Nâng cao

Với số \(α,0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\) , xét điểm M của đường tròn lượng giác xác định bởi 2α , rồi xét tam giác vuông A’MA (A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn).

a) Tính AM² bằng hai cách khác nhau để suy ra: cos2α = 1 – 2sin²α

b) Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra: sin2α = 2sinα cosα

c) Chứng minh: \(\sin {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } ;\,\,\,\cos {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \) rồi tính các giá trị lượng giác của các góc \({{3\pi } \over 8}\) và \({{5\pi } \over 8}\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& A{M^2} = \overline {AH} .\overline {{\rm{AA}}} {\rm{' = (}}\overline {AO} + \overline {OH} ).\overline {{\rm{AA}}'} \cr
& = ( - 1 + \cos 2\alpha )( - 2) = 2(1 - \cos 2\alpha ) \cr} \)

Lại có: \(A{M^2} = A{A^2}.si{n^2}\alpha  = 4si{n^2}\alpha \)

Vậy: \(2si{n^2}\alpha  = 1-cos2\alpha \)

b) Ta có: \({S_{A'MA}} = {1 \over 2}AA'.MH = MH = \sin 2\alpha \)

Lại có:

\({S_{A'MA}} = {1 \over 2}A'M.AM = {1 \over 2}A'A\cos \alpha .A'A\sin \alpha  \)

             \(= 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Vậy: \(\sin2α  = 2\sinα \cosα\)

c) Ta có: \(\cos {\pi  \over 4} = 1 - 2{\sin ^2}{\pi  \over 8}\) nên:

\(\eqalign{
& {\sin ^2}{\pi \over 8} = {1 \over 2}(1 - {{\sqrt 2 } \over 2}) = {{2 - \sqrt 2 } \over 4} \cr
& \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \cr
& \cos {\pi \over 4} = 2{\cos ^2}{\pi \over 8} - 1 \cr&\Rightarrow {\cos ^2}{\pi \over 8} = {1 \over 2}(1 + {{\sqrt 2 } \over 2}) = {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr
& \cos {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2} \cr
& {{3\pi } \over 8} = {\pi \over 2} - {\pi \over 8} \Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {{3\pi } \over 8} = \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr
\sin {{3\pi } \over 8} = \cos {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr
\tan {{3\pi } \over 8} = \cot {\pi \over 8} = \sqrt 2 + 1 \hfill \cr
\cot {{3\pi } \over 8} = \tan {\pi \over 8} = \sqrt 2 - 1 \hfill \cr} \right. \cr
& {{5\pi } \over 8} = {\pi \over 2} + {\pi \over 8} \Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {{5\pi } \over 8} = - \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr
\sin {{5\pi } \over 8} = \cos {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr
\tan {{5\pi } \over 8} = - \cot {\pi \over 8} = - \sqrt 2 - 1 \hfill \cr
\cot {{5\pi } \over 8} = - \tan {\pi \over 8} = 1 - \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bài 37 trang 207 SGK Đại số 10 Nâng cao

Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với một đường tròn lượng giác, cho điểm P có tọa độ (2, -3)

a) Chứng minh rằng điểm M sao cho \(\overrightarrow {OM}  = {{\overrightarrow {OP} } \over {|\overrightarrow {OP} |}}\) là giao điểm của tia OP với đường tròn lượng giác đó

b) Tính tọa độ điểm M và từ đó suy ra cosin, sin của góc lượng giác (Ox, OP)

Đáp án

a) Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {OM} \uparrow \uparrow \overrightarrow {OP} \hfill \cr
|\overrightarrow {OM} | = |{{\overrightarrow {OP} } \over {\overrightarrow {OP} }}| = {{|\overrightarrow {OP} |} \over {|\overrightarrow {OP} |}}=1 \hfill \cr} \right. \) 

Vậy M là giao của tia OP với đường tròn lượng giác.

b) Ta có:

\(\eqalign{
& |\overrightarrow {OP} |\, = \sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {13} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {OM} ({2 \over {\sqrt {13} }};\, - {3 \over {\sqrt {13} }}) \cr} \)

Vậy 

\(\left\{ \matrix{
\cos (Ox,OP) = {2 \over {\sqrt {13} }} \hfill \cr
sin(Ox,OP) = {{ - 3} \over {\sqrt {13} }} \hfill \cr} \right.\)

Giaibaitap.me