Bài 26 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận phương trình sau (m và a là những tham số)

a) \((2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0\);

b) \(|mx + 2x – 1| = | x|\);

c) \((mx + 1)\sqrt {x - 1}  = 0\)

d) \({{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2\)

e) \({{(m + 1)x + m - 2} \over {x + 3}} = m\)

f) \(|{{ax + 1} \over {x - 1}}|\, = a\)

Giải

a) Ta có:

(2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + m - 4 = 0 \hfill \cr
2mx - x + m = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{4 - m} \over 2} \hfill \cr
(2m - 1)x = - m \hfill \cr} \right.\)

+ Với \(m = {1 \over 2}\) phương trình có nghiệm: \(x = {{4 - m} \over 2} = {7 \over 4}\)

+ Với \(m \ne {1 \over 2}\) phương trình có hai nghiệm: \(x = {{4 - m} \over 2};\,\,x = {m \over {1 - 2m}}\)

b) Ta có:

\(|mx + 2x – 1| = | x|\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx + 2x - 1 = x \hfill \cr
mx + 2x - 1 = - x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
(m + 1)x = 1 \hfill \cr
(m + 3)x = 1 \hfill \cr} \right.\)

+ Với m = -1 phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 2}\)

+ Với m = -3, phương trình có nghiệm \(x =  - {1 \over 2}\)

+ Với m ≠ -1 và m ≠ -3 thì phương trình có hai nghiệm: \(x = {1 \over {m + 1}};\,\,x = {1 \over {m + 3}}\)

c) Điều kiện: x ≥ 1

Ta có:

\((mx + 1)\sqrt {x - 1} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
mx + 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

+ Với  m = 0, phương trình có nghiệm x = 1

+ Với m ≠ 0  (1) ⇔ \(x =  - {1 \over m}\)

Kiểm tra điều kiện:

\(\eqalign{
& - {1 \over m} \ge 1 \Leftrightarrow - {1 \over m} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow {{ - m - 1} \over m} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{m + 1} \over m} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m < 0 \cr} \)

Do đó:

+ Với  -1 < m < 0  ;  \(S = {\rm{\{ }}1;\, - {1 \over m}{\rm{\} }}\)

+ Với 

\(\left[ \matrix{
m \le -1 \hfill \cr
m \ge 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,;\,\,\,S = {\rm{\{ }}1\} \)

d) Điều kiện: x ≠ 2

Ta có:

\(\eqalign{
& {{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2 \Leftrightarrow 2a - 1 = (a - 2)(x - 2) \cr
& \Leftrightarrow (a - 2)x = 4a - 5\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)

+ Với a = 2 thì S = Ø

+ Với a ≠ 2 thì \((1) \Leftrightarrow x = {{4a - 5} \over {a - 2}}\)

Kiểm tra điều kiện:

\(x \ne 2 \Leftrightarrow {{4a - 5} \over {a - 2}} \ne 2 \Leftrightarrow 4a - 5 \ne 2a - 4 \Leftrightarrow a \ne {1 \over 2}\)

Vậy a = 2 hoặc \(a = {1 \over 2}\,;\,\,\,\,S = \emptyset \)

       a ≠ 2 và \(a \ne {1 \over 2};\,\,\,\,\,S = {\rm{\{ }}{{4a - 5} \over {a - 2}}{\rm{\} }}\)

e) Điều kiện: x ≠ -3

Phương trình đã cho tương đương với:

(m + 1)x+ m – 2= m(x + 3) ⇔ x = 2m + 2

x = 2m + 2 là nghiệm của phương trình \( \Leftrightarrow 2m + 2 \ne  - 3 \Leftrightarrow m \ne  - {5 \over 2}\)

  i) Với \(m \ne  - {5 \over 2}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2m + 2

  ii) Với \(m =  - {5 \over 2}\) thì phương trình vô nghiệm

f) Rõ ràng a < 0 thì phương trình vô nghiệm

Với  a ≥ 0. Điều kiện: x ≠ 1

Ta có:

\(|{{ax + 1} \over {x - 1}}| = a \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{ax + 1} \over {x - 1}} = a \hfill \cr
{{ax + 1} \over {x - 1}} = - a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
ax + 1 = ax - a \hfill \cr
ax + 1 = - ax + a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = - 1\,\,\,(l) \hfill \cr
2ax = a - 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy a = 0   ; S = Ø

\(a > 0;\,x = {{a - 1} \over {2a}}\,\, ;\,\,S = {\rm{\{ }}{{a - 1} \over {2a}}{\rm{\} }}\)

Bài 27 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao

Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau:

a) \(4{x^2} - 12x - 5\sqrt {4{x^2} - 12x + 11}  + 15 = 0\)

b) \({x^2}+ 4x – 3|x + 2| + 4 = 0\)

c) \(4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} + |2x - {1 \over x}| - 6 = 0\)

Giải

a) \(4{x^2} - 12x - 5\sqrt {4{x^2} - 12x + 11}  + 15 = 0\)

 Đặt \(t = \sqrt {4{x^2} - 12x + 11} \,\,(t \ge 0)\)

⇒ 4x² – 12x = t² – 11

Ta có phương trình:

\({t^2} - 11 - 5t + 15 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 4 \hfill \cr} \right.\) 

+ Với t = 1, ta có:

\(\sqrt {4{x^2} - 12x + 11}  = 1 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 10 = 0\)  (vô nghiệm)

+ Với t = 4, ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {4{x^2} - 12x + 11} = 4 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x - 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = {{6 \pm \sqrt {56} } \over 4} = {{3 \pm \sqrt {14} } \over 2} \cr} \)

b) Đặt \(t = | x + 2|  (t ≥ 0) \)⇒ x² + 4x = t² – 4

Ta có phương trình:

\(\eqalign{
& {t^2} - 4 - 3t + 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
|x + 2| = 0 \hfill \cr
|x + 2| = 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x + 2 = 3 \hfill \cr
x + 2 = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr
x = - 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy S = {-5, -2, 1}

c) Đặt \(t = |2x - {1 \over x}|\,\,\,(t \ge 0)\)

\( \Rightarrow {t^2} = 4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} - 4 \Rightarrow 4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} = {t^2} + 4\)

Ta có phương trình:

\({t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 2\,\,(l) \hfill \cr} \right.\)

\(t = 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - {1 \over x} = 1 \hfill \cr
2x - {1 \over x} = - 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
2{x^2} - x - 1 = 0 \hfill \cr
2{x^2} + x - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1;\,x = - {1 \over 2} \hfill \cr
x = - 1;\,x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy  \(S = {\rm{\{ }} - 1, - {1 \over 2};{1 \over 2};1\} \)

Bài 28 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao

 Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất : |mx – 2| = |x + 4| (*)

Giải

Ta có:

|mx – 2| = |x + 4| ⇔ (mx -2)² = (x + 4)²

⇔ (m² – 1)x²  - 4(m + 2)x – 12 = 0 (1)

+ Với m = 1 thì (1) trở thành : -12x – 12 = 0 ⇔ x = -1

+ Với m = -1 thì (1) trở thành: -4x – 12 = 0 ⇔ x = -3

+ Với m ≠ ± 1 thì (1) có nghiệm duy nhất:

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow\Delta  ' = 4{(m + 2)^2} + 12({m^2} - 1) = 0\cr& \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {(2m + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow m = - {1 \over 2} \cr} \)

Với \(m \in {\rm{\{ }} - 1; - {1 \over 2};1\}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Bài 29 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao

Với giá trị của a thì phương trình sau vô nghiệm?

\({{x + 1} \over {x - a + 1}} = {x \over {x + a + 2}}\)

Giải

Điều kiện: x ≠  a – 1 và x ≠  -a – 2

Ta có:

(1) ⇔ (x + 1)(x + a + 2) = x(x – a + 1)

⇔ x² + (a + 3)x  + a  + 2 = x² – (a – 1)x

⇔ 2(a + 1)x = -a – 2 (2) 

+ Với  a = -1 thì S = Ø

+ Với a ≠ -1 thì \((2) \Leftrightarrow x = {{ - a - 2} \over {2(a + 1)}}\)

Kiểm tra điều kiện: 

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x \ne a - 1 \hfill \cr
x \ne - a - 2 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{ - a - 2} \over {2(a + 1)}} \ne a - 1 \hfill \cr
{{ - a - 2} \over {2(a + 1)}} \ne - a - 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- a - 2 \ne 2({a^2} - 1) \hfill \cr
- (a + 2) \ne 2(a + 2)(a + 1) \hfill \cr} \right.\cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2{a^2} + a \ne 0 \hfill \cr
(a + 2)(2a + 1) \ne 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ne 0 \hfill \cr
a \ne - {1 \over 2} \hfill \cr
a \ne - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Giaibaitap.me