Bài 30 trang 93 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Biết rằng phương trình thứ hai trong hệ nghiệm đúng với mọi giá trị của các ẩn. Hãy chọn kết luận đúng trong các khẳng định sau:

(A) Hệ đã cho nghiệm đúng với mọi giá trị của các ẩn;

(B) Hệ đã cho vô nghiệm;

(C) Tập nghiệm của hệ đã cho trùng với tập nghiệm của phương trình thứ nhất;

(D) Không có kết luận gì.

Giải

Tập nghiệm của hệ trùng với tập nghiệm của phương trình bậc nhất.

Chọn (C)

Bài 31 trang 93 SGK Đại số 10 nâng cao

Bằng định thức, giải các hệ phương trình sau:

a)

\(\left\{ \matrix{
5x - 4y = 3 \hfill \cr
7x - 9y = 8 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
\sqrt 3 x + \sqrt 2 y = - 1 \hfill \cr
2\sqrt 2 x + \sqrt 3 y = 0 \hfill \cr} \right.\)

Giải

a) Ta có:

\(D = \left| \matrix{
5\,\,\,\, - 4 \hfill \cr
7\,\,\,\, - 9 \hfill \cr} \right| = - 45 + 28 = - 17\)

\({D_x} = \left| \matrix{
3\,\,\,\,\,\, - 4 \hfill \cr
8\,\,\,\,\,\, - 9 \hfill \cr} \right| = - 27 + 32 = 5\)

\({D_y} = \left| \matrix{
5\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr
7\,\,\,\,\,\,8 \hfill \cr} \right| = 40 - 21 = 19\)

Hệ có nghiệm:

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 5} \over {17}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = - {{19} \over {17}} \hfill \cr} \right.\)

b) Ta có:

\(D = \left| \matrix{
\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \hfill \cr
2\sqrt 2 \,\,\,\,\sqrt 3 \hfill \cr} \right| = 3 - 4 = - 1\)

\({D_x} = \left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt 3 \hfill \cr} \right| = - \sqrt 3 \)

\({D_y} = \left| \matrix{
\sqrt 3 \,\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr
2\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right| = 2\sqrt 2 \)

Hệ có nghiệm duy nhất: 

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = \sqrt 3 \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = - 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

Bài 32 trang 93 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các hệ phương trình sau:

a)

\(\left\{ \matrix{
{4 \over x} + {1 \over {y - 1}} = 3 \hfill \cr
{2 \over x} - {2 \over {y - 1}} = 4 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
{{3(x + y)} \over {x - y}} = - 7 \hfill \cr
{{5x - y} \over {y - x}} = {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Giải

a) Điều kiện: \(x ≠ 0\) và \(y ≠ -1\).

Đặt \(X = {1 \over x}  ;\,Y = {1 \over {y - 1}}\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
4X + Y = 3 \hfill \cr
2X - 2Y = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
X = 1 \hfill \cr
Y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{1 \over x} = 1 \hfill \cr
{1 \over {y - 1}} = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm \((1; 0)\)

b) Điều kiện: \(x ≠ y\)

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{{3(x + y)} \over {x - y}} = - 7 \hfill \cr
{{5x - y} \over {y - x}} = {5 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3(x + y) = - 7(x - y) \hfill \cr
3(5x - y) = 5(y - x) \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
10x - 4y = 0 \hfill \cr
20x - 8y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {5 \over 2}x\)

Hệ có vô số nghiệm \((x;\,{5 \over 2}x)\) với \(x ∈\mathbb R\) \ {0} (do \(x ≠ y\))

Bài 33 trang 94 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các hệ phương trình

a) 

\(\left\{ \matrix{
x - my = 0 \hfill \cr
mx - y = m + 1 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
2ax + 3y = 5 \hfill \cr
(a + 1)x + y = 0 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& D = \left|\matrix{1  \;\;\;\;{ - m} \cr m \;\;\;\; { - 1} \cr} \right| \,\, = {m^2} - 1 \cr& {D_x} = \, \left|\matrix{0  \;\;\;\;\;\;\;{ - m} \cr {m + 1} \;\;\;\;\;{ - 1} \cr} \right| \, = m(m + 1) \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{1 \;\;\;\;\;\;\; 0 \cr m \;\;\;\;\;\;\; {m + 1} \cr} \right| \, = m + 1 \cr} \) 

+ Với D ≠  0 ⇔ m ≠ ± 1 thì hệ có nghiệm duy nhất:

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{m(m + 1)} \over {{m^2} - 1}} = {m \over {m - 1}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{m + 1} \over {{m^2} - 1}} = {1 \over {m - 1}} \hfill \cr} \right.\)

+ Với D = 0 ⇔ m = ± 1

i) m = 1, ta có D_x = 2 ≠ 0: Hệ phương trình vô nghiệm

ii) m = -1. Hệ trở thành: 

\(\left\{ \matrix{
x + y = 0 \hfill \cr
- x - y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = - x\)

Hệ vô số nghiệm (x, -x) với x ∈ R

b) Ta có:

\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{2a} \;\;\;\; \;\;3 \cr
{a + 1} \;\;\;\; 1 \cr}\right|\, = 2a - 3(a + 1) = - (a + 3) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{5 & 3 \cr 0 & 1 \cr}\right| = 5 \cr & {D_y} = \left|\matrix{{2a} \;\;\; \;\;5 \cr {a + 1} \;\;\; 0 \cr}\right|= - 5(a + 1) \cr} \) 

+ Nếu a ≠ -3 thì hệ có nghiệm duy nhất: 

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 5} \over {a + 3}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{5(a + 1)} \over {a + 3}} \hfill \cr} \right.\)

+ Nếu a = -3 thì hệ vô nghiệm (do D =  0)

Giaibaitap.me