Bài 38 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p (mét). Nếu mở rộng miếng đất đó bằng cách tăng một cạnh thêm 3m và cạnh kia thêm 2m thì diện tích miếng đất tăng thêm 246 \(m^2\). Tính các kích thước của miếng đất đó (biện luận theo p).

Giải

Gọi hai kích thước hình chữ nhật là x và y (x > 0; y > 0)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x + y = p \hfill \cr
(x + 3)(y + 2) = xy + 246 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y = p \hfill \cr
2x + 3y = 240 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3p - 240 \hfill \cr
y = 240 - 2p \hfill \cr} \right.\)

x > 0; y > 0  

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3p - 240 > 0 \hfill \cr
240 - 2p > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 80 < p < 120\)

Bài 39 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các hệ phương trình

a)

\(\left\{ \matrix{
x + my = 1 \hfill \cr
mx - 3my = 2m + 3 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
mx + y = 4 - m \hfill \cr
2x + (m - 1)y = m \hfill \cr} \right.\)

Giải

a) Ta có:

\(\eqalign{& D = \,\left|\matrix{
1 & m \cr m & { - 3m} \cr}\right |\, = - 3m - {m^2} = - m(m + 3) \cr & {D_x} = \left|\matrix{1 & m \cr {2m + 3} & { - 3m} \cr} \right |\, = - 3m - m(2m + 3) \cr&\;\;\;\;\;\;= - 2m(m + 3) \cr & {D_y} = \left|\matrix{1 & 1 \cr m & {2m + 3} \cr}\right  |\, = \,2m + 3 - m = m + 3 \cr} \)

+Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ -3 nên hệ có nghiệm duy nhất là:

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 2m(m + 3)} \over { - m(m + 3)}} = 2 \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{m + 3} \over { - m(m + 3)}} = - {1 \over m} \hfill \cr} \right.\) 

+ Nếu D = 0 

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 0 \hfill \cr
m = - 3 \hfill \cr} \right.\)

i) Với m = 0, D_y = 3 ≠ 0: hệ vô nghiệm

ii) Với m = -3, hệ trở thành:

\(\left\{ \matrix{
x - 3y = 1 \hfill \cr
- 3x + 9y = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {{x - 1} \over 3}\)

Hệ có vô số nghiệm \((x;\,{{x - 1} \over 3})\) ; x ∈ R

b) Ta có:

\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
m & 1 \cr
2 & {m - 1} \cr}\right  |\, = m(m - 1) - 2 \cr&\;\;\;\;= {m^2} - m - 2 = (m + 1)(m - 2) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{4 - m} & 1 \cr m & {m - 1} \cr}\right  |\, = (4 - m)(m - 1) - m \cr&\;\;\;\;= - {m^2} + 4m - 4 = - {(m - 2)^2} \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{m & {4 - m} \cr 2 & m \cr}\right  |\, = \,{m^2} - 2(4 - m)  \cr&\;\;\;\;= {m^2} + 2m - 8 = (m - 2)(m + 4) \cr} \)

+ Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ -1 và m ≠ 2 nên hệ có nghiệm duy nhất là:

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - {{(m - 2)}^2}} \over {(m + 1)(m - 2)}} = {{ - m + 2} \over {m + 1}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{(m + 4)(m - 2)} \over {(m + 1)(m - 2)}} = {{m + 4} \over {m + 1}} \hfill \cr} \right.\)

+ Nếu D = 0 ⇔ m = -1 hoặc m = 2

i) m = -1; D_x ≠ 0. Hệ vô nghiệm

ii) m = 2, thế y = 2 – 2x. Hệ có vô số nghiệm (x; 2 – 2x); x ∈ R

Bài 40 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm?

a)

\(\left\{ \matrix{
(a + 1)x - y = a + 1 \hfill \cr
x + (a - 1)y = 2 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
(a + 2)x + 3y = 3a + 9 \hfill \cr
x + (a + 4)y = 2 \hfill \cr} \right.\)

Giải

Ta có:

\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{a + 1} & { - 1} \cr
1 & {a - 1} \cr} \right|\, = {a^2} - 1 + 1 = {a^2} \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{a + 1} & { - 1} \cr 2 & {a - 1} \cr} \right|\, = {a^2} - 1 + 2 = {a^2} + 1 \ne 0 \cr} \)

+ Nếu a ≠  0 thì hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu a = 0 thì hệ vô nghiệm (do D_x ≠ 0)

Vậy hệ có nghiệm ⇔  a ≠ 0

b) Ta  có:

\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{a + 2} & 3 \cr
1 & {a + 4} \cr} \right|\, = (a + 2)(a + 4) - 3 \cr&= {a^2} + 6a + 5 = (a + 1)(a + 5) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{3a + 9} & 3 \cr 2 & {a + 4} \cr} \right|\, = (3a + 9)(a + 4) - 6 \cr&= 3{a^2} + 21a + 30 = 3(a + 2)(a + 5) \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{{a + 2} & {3a + 9} \cr 1 & 2 \cr} \right|\, = 2(a + 2) - (3a + 9)\cr& = - a - 5 \cr} \)

+ Nếu a ≠ -1 và a ≠ -5 thì hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu a = -1 thì D_y = -4 ≠ 0: hệ vô nghiệm

+ Nếu a =-5 thì hệ thành: 

\(\left\{ \matrix{
- 3x + 3y = - 6 \hfill \cr
x - y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = x - 2\)

Hệ có vô số nghiệm (x, x – 2) ∈  R

Vậy hệ có nghiệm khi a ≠ 1

Bài 41 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm tất cả các cặp số nguyên (a, b) sao cho hệ phương trình sau vô nghiệm:

\(\left\{ \matrix{
ax + y = 2 \hfill \cr
6x + by = 4 \hfill \cr} \right.\)

Giải

Ta có:

\(D = \,\left|\matrix{
a & 1 \cr
6 & b \cr} \right|\, = ab - 6\)

Hệ vô nghiệm thì D = 0 ⇒ ab = 6

Vì a, b ∈ Z nên (a, b) là một trong 8 cặp số nguyên là:

(1, 6); (-1, -6); (6, 1); (-6, -1); (2, 3); (-2, -3); (3, 2); (-3, -2)

Lần lượt thay (a, b) bởi một trong 8 cặp số trên, ta thấy cặp (a, b) = (3, 2) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có 7 cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giaibaitap.me