Bài 18 trang 17 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Bài 18. Cho hình bình hành \(ABCD\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \).

Hướng dẫn trả lời

Ta có  \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {BA} \) mà \(\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \) suy ra \(\overrightarrow {DA}  - \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 .\)

Bài 19 trang 18 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Bài 19. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.

Hướng dẫn trả lời

Giả sử \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \) và \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AD,BC\).

Ta có \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow 0 ,\,\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BN} ,\,\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CN} \) suy ra

\(\eqalign{
& 2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CN} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BN} + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow 0 \cr} \)

Do đó, \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0 \) , tức là \(M \equiv N\).

Vậy trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau.

Ngược lại, ta giả sử trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\) và \(BC\) trùng nhau, suy ra

 \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow 0 ,\,\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {CM}  + \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {CD} \).

Bài 20 trang 18 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Bài 20. Cho sáu điểm \(A, B, C, D, E, F\). Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {CF}  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {BF}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE} \).

Hướng dẫn trả lời

Theo quy tắc ba điểm, ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} } \right) + \left( {\overrightarrow {BF} + \overrightarrow {FE} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \left( {\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {ED} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} + \left( {\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} \cr} \)

Tương tự, ta cũng có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \left( {\overrightarrow {AF} + \overrightarrow {FD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DE} } \right) + \left( {\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} + \left( {\overrightarrow {FD} + \overrightarrow {DE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} + \left( {\overrightarrow {FE} + \overrightarrow {EF} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \cr} \)

Vậy ta có \(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BE}  + \overrightarrow {CF}  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {BF}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AF}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {CE} \)

Giaibaitap.me