Bài tập 1 trang 159 SGK Đại số 10

Cho hàm số  $f(x) = \sqrt {{x^2} + 3x + 4}  - \sqrt { - {x^2} + 8x - 15}$

a) Tìm tập xác định $A$ của hàm số $f(x)$

b) Giả sử $B = \left\{ {x \in R:4 < x \le \left. 5 \right\}} \right.$ . Hãy xác định các tập hợp $A\backslash B$ và $R\backslash (A\backslash B)$

Trả lời:

a) Tập xác định của $f(x)$ :

$A{\rm{ }} = {\rm{\{ }}x{\rm{ }} \in {\rm{ }}R|{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\text { và } - {x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}15{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\}$

 $x^2+ 3x + 4$ có biệt thức $Δ = 3^2– 16 < 0$

Theo định lí dấu của tam thức:

$x^2+ 3x + 4 ≥ 0 ,∀x ∈\mathbb R$

$-x^2+ 8x – 15 = 0 ⇔ x_1= 3, x_2= 5$

$-x^2+ 8x – 15 > 0 ⇔ 3 ≤ x ≤ 5  ⇒ A = [3; 5]$

b) $A\backslash B = [3; 4]$

$R\backslash(A\backslash B) = (-∞; 3) ∪ (4;+∞)$

Câu 2 trang 160 SGK Đại số 10

Cho phương trình: $mx^2– 2x – 4m – 1 = 0$

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị $m≠0$ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm giá trị của $m$ để $- 1$ là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghiệm còn lại.

Trả lời:

a)

$\eqalign{ & \Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}1 + m\left( {4m + 1} \right) = 4{m^2} + m + 1 \cr & = (2m + {1 \over 4}) + {{15} \over {16}} > 0,\forall m \cr}$

Vậy với $m ≠ 0$ phương trình là bậc hai có biệt thức chung nên có $2$ nghiệm phân biệt.

b) 

$\eqalign{ & f( - 1) = m + 2 - 4m - 1 = - 3m + 1 = 0 \cr & \Rightarrow m = {1 \over 3} \cr}$

Với $m = {1 \over 3}$ , phương trình có nghiệm $x_1= -1$.

Gọi nghiệm kia là $x_2$.

Theo định lí Vi-et: 

${x_1} + {x_2} =  - 1 + {x_2} = {2 \over m} = {2 \over {{1 \over 3}}} \Rightarrow {x_2} = 7$

Câu 3 trang 160 SGK Đại số 10

Cho phương trình:

 ${x^2} - 4mx + 9{(m - 1)^2} = 0$

a) Xem xét với giá trị nào của $m$, phương trình trên có nghiệm.

b) Giả sử $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tìm một hệ thức liên hệ giữa $x_1$ và $x_2$ không phụ thuộc vào $m$.

c) Xác định $m$ để hiệu các nghiệm của phương trình bằng $4$.

Trả lời:

a) $Δ’ = 4m^2– 9(m-1) = -5m^2+ 18m – 9 ≥ 0$

 $\Leftrightarrow {3 \over 5} \le m \le 3$

Phương trình có nghiệm nếu $m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]$

b) Với  $m \in \left[ {{3 \over 5},3} \right]$ phương trình có các nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn

$x_1+x_2= 4m$ (1)  và   $x_1.x_2= 9(m-1)^2$   (2)

Từ (1)và (2) suy ra:

 ${x_1}.{x_2} = 9{({{{x_1} + {x_2}} \over 4} - 1)^2} \Leftrightarrow 9{({x_1} + {x_2} - 4)^2} - 16{x_1}{x_2} = 0$

Đó là hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình độc lập với tham số $m$.

c) Ta có:

$x_2– x_1= 4;x_1+ x_2= 4m ⇒ x_2= 2(m+1)$

Thay biểu thức của $x_2$ vào phương trình thì được:

$4(m+1)^2 – 8m(m+1) + 9(m-1)^2= 0$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow 5{m^2} - 18m + 13 = 0 \cr & \Leftrightarrow {m_{_1}} = 1;{m_2} = {{13} \over 5} \cr}$

Kết luận: Nếu $m = 1$ hoặc $m = {{13} \over 5}$ thì hiệu của $2$ nghiệm bằng $4$.

Câu 4 trang 160 SGK Đại số 10

Chứng minh các bất đẳng thức:

a) $5(x-1) < x^5– 1< 5x^4(x-1)$, biết $x – 1 > 0$

b) $x^5+ y^5– x^4y – xy^4≥ 0$, biết $x + y ≥ 0$

c) $\sqrt {4a + 1}  + \sqrt {4b + 1}  + \sqrt {4c + 1}  < 5$ , biết rằng $a, b, c$ cùng lớn hơn và $a + b + c = 1$

Trả lời:

a) $x -1 >5 ⇔ x > 1 ⇒ x^4> x^3> x^2> x > 1$

$\Rightarrow {\rm{ }}5{x^4} > {\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}5$

$\Rightarrow {\rm{ }}5{x^4}\left( {x - 1} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}\left( {x - 1} \right)({\rm{ }}{x^4} + {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}1){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5} - 1{\rm{ }} > {\rm{ }}5{\rm{ }}\left( {x - 1} \right)$

b)

${{x^5} + {\rm{ }}{y^{5}}-{\rm{ }}{x^4}y{\rm{ }}-{\rm{ }}x{y^4} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right)\left( {{x^4}-{\rm{ }}{x^3}y{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2}{y^2}-{\rm{ }}x{y^3} + {\rm{ }}{y^4}} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}xy\left( {{x^{3}} + {\rm{ }}{y^3}} \right)}$

${ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }}\left[ {\left( {{\rm{ }}{x^4}-{\rm{ }}{x^3}y + {\rm{ }}{x^2}{y^2}-{\rm{ }}x{y^3} + {\rm{ }}{y^4}} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}xy\left( {{x^2}-{\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}{y^2}} \right)} \right]}$

${ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }}\left[ {\left( {{x^4} + 2{x^2}{y^2} + {y^4}} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}2xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \right]}$

${ = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }}{{\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}y} \right)}^2}\left( {{x^2} + {\rm{ }}{y^2}} \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }}0}$ do $x + y ≥ 0; (x - y)^2 ≥ 0, x^2 + y^2≥ 0$

c)

$\eqalign{ & {(\sqrt {4a + 1} + \sqrt {4b + 1} + \sqrt {4c + 1} )^2} \cr & = 4(a + b + c) + 3 + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4b + 1} + 2\sqrt {4a + 1} \sqrt {4c + 1} + 2\sqrt {4b + 1} \sqrt {4c + 1} \cr & \le 4(a + b + c) + 3 + (4a + 1) + (4b + 1) + (4a + 1) + (4c + 1) + (4b + 1) + (4c + 1) \cr & \le 12(a + b + c) + 9 \le 21 \le 25 \cr & \cr}$

Suy ra Đpcm

Giaibaitap.me