Câu 100 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức: 

a) \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}}  + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } ;\)

b) \(\sqrt {15 - 6\sqrt 6 }  + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 } ;\)

c) \(\left( {15\sqrt {200}  - 3\sqrt {450}  + 2\sqrt {50} } \right):\sqrt {10} .\)

Gợi ý làm bài

a) 

\(\eqalign{
& \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \cr
& = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| + \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} \cr} \)

\(\eqalign{
& = 2 - \sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} \cr
& = 2 - \sqrt 3 + \left| {\sqrt 3 - 1} \right| \cr} \)

\( = 2 - \sqrt 3  + \sqrt 3  - 1 = 1\)

b) 

\(\eqalign{
& \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 } \cr
& = \sqrt {9 - 2.3\sqrt 6 + 6} + \sqrt {9 - 2.3.2\sqrt 6 + 24} \cr} \)

\(\eqalign{
& = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 6 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 6 } \right)}^2}} \cr
& = \left| {3 - \sqrt 6 } \right| + \left| {3 - 2\sqrt 6 } \right| \cr} \)

\( = 3 - \sqrt 6  + 2\sqrt 6  - 3 = \sqrt 6 \)

c) 

\(\eqalign{
& \left( {15\sqrt {200} - 3\sqrt {450} + 2\sqrt {50} } \right):\sqrt {10} \cr
& = 15\sqrt {{{200} \over {10}}} - 3\sqrt {{{450} \over {10}}} + 2\sqrt {{{50} \over {10}}} \cr} \)

\(\eqalign{
& = 15\sqrt {20} - 3\sqrt {45} + 2\sqrt 5 \cr
& = 15\sqrt {4.5} - 3\sqrt {9.5} + 2\sqrt 5 \cr} \)

\(\eqalign{
& = 15.2\sqrt 5 - 3.3\sqrt 5 + 2\sqrt 5 \cr
& = 30\sqrt 5 - 9\sqrt 5 + 2\sqrt 5 = 23\sqrt 5 \cr} \)

Câu 101 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

a) Chứng minh:

\(x - 4\sqrt {x - 4}  = {\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)^2};\)

b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:

\(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } .\)

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(x - 4\sqrt {x - 4}  = \left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4}  + 4\)

\( = {\left( {\sqrt {x - 4} } \right)^2} - 2.2\sqrt {x - 4}  + {2^2} = {\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)^2}\)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) A xác định khi: \(x - 4 \ge 0\) và \(x - 4\sqrt {x - 4}  \ge 0\)

\(x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\)

\(\eqalign{
& x - 4\sqrt {x - 4} = \left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4} + 4 \cr
& = {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2} \ge 0 \cr} \)

Ta có:

\(A = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} }  + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \)

\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  + 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4}  - 2} \right)}^2}} \)

\( = \left| {\sqrt {x - 4}  + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|\)

\( = \sqrt {x - 4}  + 2 + \left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right|\)

- Nếu 

\(\eqalign{
& \sqrt {x - 4} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} \ge 2 \cr
& \Leftrightarrow x - 4 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 8 \cr} \)

thì: \(\left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right| = \sqrt {x - 4}  - 2\)

Ta có: \(A = \sqrt {x - 4}  + 2 + \sqrt {x - 4}  - 2 = 2\sqrt {x - 4} \)

- Nếu:

\(\eqalign{
& \sqrt {x - 4} - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} < 2 \cr
& \Leftrightarrow x - 4 < 4 \Leftrightarrow x < 8 \cr} \)

thì \(\left| {\sqrt {x - 4}  - 2} \right| = 2 - \sqrt {x - 4} \)

Ta có: \(A = \sqrt {x - 4}  + 2 + 2 - \sqrt {x - 4}  = 4\)

Câu 102 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

\(A = \sqrt x  + \sqrt {x + 1} \);

\(B = \sqrt {x + 4}  + \sqrt {x - 1} .\)

a) Chứng minh rằng \(A \ge 1\) và \(B \ge \sqrt 5 \);

b) Tìm x, biết:

\(\sqrt x  = \sqrt {x + 1}  = 1\);

\(\sqrt {x + 4}  + \sqrt {x - 1}  = 2\)

Gợi ý làm bài

\(A = \sqrt x  + \sqrt {x + 1} \) xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,x \ge 0\)

\(B = \sqrt {x + 4}  + \sqrt {x - 1} \) xác định khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{
x + 4 \ge 0 \hfill \cr
x - 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 4 \hfill \cr
x \ge 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \ge 1\) 

a) Với \(x \ge 0\) ta có: \(x + 1 \ge 1 \Rightarrow \sqrt {x + 1}  \ge 1\)

Suy ra: \(A = \sqrt x  + \sqrt {x + 1}  \ge 1\)

Với \(x \ge 1\) ta có:

\(x + 4 \ge 1 + 4 \Leftrightarrow x + 4 \ge 5 \Leftrightarrow \sqrt {x + 4}  \ge \sqrt 5 \)

Suy ra: \(B = \sqrt {x + 4}  + \sqrt {x - 1}  \ge 5\)

b.*\(\sqrt x  + \sqrt {x + 1}  = 1\)

Điều kiện : \(x \ge 0\)

Ta có: \(\sqrt x  + \sqrt {x + 1}  \ge 1\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\sqrt x  = 0\) và \(\sqrt {x + 1}  = 1\)

Suy ra: x = 0

* \(\sqrt {x + 4}  + \sqrt {x - 1}  = 2\)

Ta có: \(\sqrt {x + 4}  + \sqrt {x - 1}  \ge \sqrt 5 \)

Mà: \(\sqrt 5  > \sqrt 4  \Leftrightarrow \sqrt 5  > 2\)

Vậy không có giá trị nào của x để \(\sqrt {x + 4}  + \sqrt {x - 1}  = 2\) .

Giaibaitap.me