Câu 78 trang 170 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O ; 2cm) và (O’ ; 3cm), OO’ = 6cm.

a)      Hai đường tròn (O), (O’) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau?

b)      Vẽ đường tròn (O’ ; 1cm) rồi kẻ tiếp tuyến OA với đường tròn đó ( A là tiếp điểm). Tia O’A cắt đường tròn (O’ ; 3cm) ở B. Kẻ bán kính OC của đường tròn (O) song song với O’B, B và C thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ OO’. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O ; 2cm) và (O’ ; 3cm).

c)      Tính độ dài BC.

d)     Gọi I là giao điểm của BC và OO’. Tính độ dài IO.

Giải:

a) Vì OO’ = 6 > 2 + 3 hay OO’ > R + R’ nên hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau.

b) Xét tứ giác ABCO  ta có:

         AB // CO (gt)                                      (1)

Mà:        AB = O’B – O’A = 3 – 1 = 2 (cm)

Suy ra:   AB = OC = 2 (cm)                               (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ABCO là hình bình hành.

Lại có: OA  ⊥ O’A ( tính chất tiếp tuyến)

Suy ra: \(\widehat {OAO'} = 90^\circ \) hay \(\widehat {OAB} = 90^\circ \)

Tứ giác ABCO là hình chữ nhật

Suy ra: \(\widehat {OCB} = \widehat {ABC} = 90^\circ \)

Suy ra: BC  ⊥ OC và BC ⊥ O’B

Vậy BC là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

c) Vì tứ giác ABCO là hình chữ nhật nên OA = BC

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OAO’, ta có:

OO’² = OA² + O’A²

 ⇒OA² = OO’² – O’A² = 6² – 1² = 35

\(⇒ OA =\sqrt {35}(cm)\)

Vậy \(BC = \sqrt {35} (cm)\)

d) Trong tam giác O’BI có OC // O’B

Suy ra: \({{IO} \over {IO'}} = {{OC} \over {O'B}}\) (hệ quả định lí Ta-lét)

\(⇒{{IO} \over {IO' - IO}} = {{OC} \over {O'B - OC}} \Rightarrow {{IO} \over {O'O}} = {2 \over {3 - 2}} \Rightarrow {{IO} \over 6} = {2 \over 1}\)

Vậy \(OI = {{6.2} \over 1} = 12 (cm)\)

Câu 79 trang 170 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O ; R), điểm A nằm bên ngoài đường tròn (R < OA < 3R). Vẽ đường tròn (A ; 2R).

a)      Hai đường tròn (O) và (A) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau?

b)      Gọi B là một giao điểm của hai đường tròn trên. Vẽ đường kính BOC của đường tròn (O). Gọi D là giao điểm ( khác C) của  AC và đường tròn (O). Chứng minh rằng AD = DC.

Giải:

a) Ta có: R < OA < 3R ⇔ 2R- R < OA < 2R + R

Suy ra hai đường tròn (O; R) và (A; 2R) cắt nhau.

b) Tam giác BCD nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ \)

Suy ra: BD ⊥ AC                             (1)

Ta có: AB = 2R và BC = 2OB = 2R

Suy ra tam giác ABC cân tại  B         (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD = DC

Câu 80 trang 170 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho đường tròn (O ; 2cm) tiếp xúc với đường thẳng d. Dựng đường tròn (O’ ; 1cm) tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc ngoài đường tròn (O).

Giải:

*     Phân tích

−        Giả sử dựng được đường tròn (O’; 1cm) tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc ngoài với đường tròn (O ; 2cm).

−        Đường tròn (O; 1cm) tiếp xúc với d nên O’ cách d một khoảng bằng 1cm. Khi đó O’ nằm trên hai đường thẳng d₁, d₂ song song với d và cách d một khoảng 1cm.

−        Đường tròn (O’; 1cm) tiếp xúc với đường tròn (O; 2cm) nên suy ra OO’ = 3cm. Khi đó O’ là giao điểm của (O; 3cm) với d₁ và d₂.

*        Cách dựng

−     Dựng hai đường tròn d₁ và d₂ song song với d và cách d một khoảng bằng 1cm.

−     Dựng đường tròn (O; 3cm) cắt tại d₁ tại  O’₁. Vẽ (O’₁; 1cm) tiếp xúc với d.

*        Chứng minh

Theo cách dựng, O’₁ cách d một khoảng bằng 1cm nên (O’₁; 1cm) tiếp xúc với d.

Vì OO’₁ = 3cm nên (O’₁; 1cm) tiếp xúc với (O; 2cm)

*        Biện luận: O cách d₁ một khoảng bằng 1cm nên (O; 3cm) cắt d₁ tại hai điểm phân biệt.

Giaibaitap.me