Câu 44 trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Vẽ hình vuông ABCD tâm O rồi vẽ tam giác đều có một đỉnh là A và nhận O làm tâm.

Nêu cách vẽ.

Giải

Cách vẽ:

− Vẽ đường tròn (O; R)

− Kẻ 2 đường kính AC ⊥ BD

− Nối AB, BC, CD, DA ta được tứ giác ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn (O; R)

− Từ A đặt liên tiếp các cung bằng nhau có dây trương cung bằng bán kính R.

\(\overparen{{A}{A_1}}\), \(\overparen{{A_1}{A_2}}\), \(\overparen{{A_2}{C}}\), \(\overparen{{C}{A_3}}\), \(\overparen{{A_3}{A_4}}\)

Nối AA₂; A₂A₃; A₃A ta có ∆AA₂A₃ là tam giác đều nhận O làm tâm.

Câu 45 trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2 cm rồi vẽ hình tám cạnh đều nội tiếp đường tròn (O; 2 cm). Nêu cách vẽ.

Giải

Cách vẽ:

− Vẽ đường kính (0; 2 cm)

− Vẽ đường kính AC ⊥ BD

− Nối AB, BC, CD, DA ta có hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (0; 2 cm)

− Kẻ đường kính EF ⊥ AD; đường kính GH ⊥ AB

Nối AE, ED, DG, GC, CF, FB, BH, HA ta có đa giác AEDGCFBH là đa giác đều 8 cạnh nội tiếp trong đường tròn (0; 2cm).

Câu 46 trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho một đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a. Hãy tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp đa giác đều đó.

Hướng dẫn

Tính \(\widehat {COD}\) rồi tính sin \(\widehat {COB}\) và tg \(\widehat {COB}\), từ đây tính được R và r (h.4).

Giải

Giả sử một đa giác đều n cạnh có độ dài một cạnh là a. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r bán kính đường tròn nội tiếp.

\( \Rightarrow \) OB = R; OC = r

\(\widehat {AOB} = {{360^\circ } \over n} \Rightarrow \widehat {COB} = {{360^\circ } \over n}:2 = {{180^\circ } \over n}\)

Trong ∆OCB ta có: \(\widehat {OCB} = 90^\circ \)

\(\sin \widehat {COB} = {{CB} \over {OB}} = {{{a \over 2}} \over R} = {a \over {2R}} \Rightarrow 2R = {a \over {\sin {{180^\circ } \over n}}}\)

\(\Rightarrow R = {a \over {2\sin {{180^\circ } \over n}}}\)

\(\tan \widehat {COB} = {{CB} \over {OC}} = {{{a \over 2}} \over r} = {a \over {2r}} \Rightarrow 2r = {a \over {\tan {{180^\circ } \over n}}}\)

\(\Rightarrow r = {a \over {2\tan {{180^\circ } \over n}}}\)

Câu 47 trang 108 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

a) Vẽ một lục giác đều ABCDEG nội tiếp đường tròn bán kính 2cm rồi vẽ hình 12 cạnh đều AIBJCKDLEMGN nội tiếp đường tròn đó. Nêu cách vẽ.

b) Tính độ dài cạnh AI.

c) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình AIBJCKDLEMGN.

Hướng dẫn. Áp dụng các công thức ở bài 46.

Giải

a) Cách vẽ:

− Vẽ đường tròn (0; 2cm)

− Từ điểm A trên đường tròn (0; 2cm) đặt liên tiếp các cung bằng nhau có dây trương cung 2cm.

\(\overparen{AB}\) = \(\overparen{BC}\) = \(\overparen{CD}\) = \(\overparen{DE}\) = \(\overparen{EG}\)

Nối AB, BC, CD, DE, EG, GA ta có lục giác đều ABCDEG nội tiếp trong đường tròn (0; 2cm).

Kẻ đường kính vuông góc AB và DE cắt đường tròn tại I và L.

Ta có: \(\overparen{AI}\) = \(\overparen{IB}\); \(\overparen{LD}\) = \(\overparen{LE}\)

Kẻ đường kính vuông góc với BC và EG cắt đường tròn tại J và M.

\(\overparen{BJ}\) = \(\overparen{JC}\); \(\overparen{ME}\) = \(\overparen{MG}\)

Kẻ đường kính vuông góc với CD và AG cắt đường tròn tại N và K.

\(\overparen{KC}\) = \(\overparen{KD}\); \(\overparen{NA}\) = \(\overparen{NG}\)

Nối AI, IB, BJ, JC, CK, KD, DL, LE, EM, MG, GN, NA

Ta có đa giác đều 12 cạnh AIBJCKDLEMGN.

b) AI là cạnh của đa giác đều 12 cạnh.

Kẻ OH ⊥ AI

\(\widehat {IOH} = {{180^\circ } \over {12}} = 15^\circ \)

\(OI = {{HI} \over {\sin \widehat {IOH}}} \Rightarrow OI = {{AI} \over {2\sin \widehat {IOH}}} \Rightarrow AI = OI.2\sin \widehat {IOH}\)

AI = 2. 2sin 15º \( \approx \) 1,04 (cm)

c) OH = r bán kính đường tròn nội tiếp đa giác đều 12 cạnh. Trong tam giác vuông OHI ta có OH = OI.\({\rm{cos}}\widehat {HOI} = 2.c{\rm{os15}}^\circ  \approx {\rm{1,93 (cm) }}\)

Giaibaitap.me