Câu 17. Trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho hình chữ nhật ABCD. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC thành hai đoạn \(4{2 \over 7}m\) và \(5{5 \over 7}m\). Tính các kích thước của hình chữ nhật.

Gợi ý làm bài:

Trong tam giác ABC, gọi giao điểm đường phân giác của góc \(\widehat {ABC}\) với cạnh AC là E.

Theo đề bài ta có:

\(AE = 4{2 \over 7}m,\,EC = 5{5 \over 7}m.\)

Theo tính chất của đường phân giác, ta có: \({{AE} \over {EC}} = {{AB} \over {BC}}\)

Suy ra: \({{AB} \over {BC}} = {{4{2 \over 7}} \over {5{5 \over 7}}} = {{{{30} \over 7}} \over {{{40} \over 7}}} = {3 \over 4}\)

Suy ra: \({{AB} \over 3} = {{BC} \over 4} \Rightarrow {{A{B^2}} \over 9} = {{B{C^2}} \over {16}}\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\)

Mà \(AC = AE + EC\) nên:

\(\eqalign{
& A{B^2} + B{C^2} = {(AE + EC)^2} \cr 
& = {\left( {4{2 \over 7} + 5{5 \over 7}} \right)^2} = {\left( {{{30} \over 7} + {{40} \over 7}} \right)^2} = {10^2} = 100 \cr} \) 

Mà : 

\(\eqalign{
& {{A{B^2}} \over 9} = {{B{C^2}} \over {16}} = {{A{B^2} + B{C^2}} \over {9 + 16}} \cr 
& = {{A{B^2} + B{C^2}} \over {25}} = {{100} \over {25}} = 4 \cr} \)

Suy ra: \(A{B^2} = 9.4 = 36 \Rightarrow AB = \sqrt {36}  = 6\left( m \right)\)

\(B{C^2} = 16.4 = 64 \Rightarrow BC = \sqrt {64}  = 8\left( m \right)\)

Vậy: \(AB = CD = 6m\)   

\(BC = AD = 8m\)

Câu 18. Trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Chu vi của tam giác ABH là 30cm và chu vi của tam giác ACH là 40cm. Tính chu vi của tam giác ABC. 

Gợi ý làm bài:

Gọi a,  b, c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.

Ta có: \(b = 30cm,c = 40cm.\)

Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \)

\(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\) (hai góc cùng phụ \(\widehat {ACB}\))

Vậy \(\Delta AHB\) đồng dạng \(\Delta CHA\) (g.g)

Suy ra: \({{HB} \over {HA}} = {{HA} \over {HC}} = {{BA} \over {AC}} = {{HB + HA + BA} \over {HA + HC + AC}} = {b \over c}\)

Suy ra: \({{BA} \over {AC}} = {b \over c} = {{30} \over {40}} = {3 \over 4}\)

Suy ra: \({{BA} \over 3} = {{AC} \over 4} \Rightarrow {{B{A^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{B{A^2} + A{C^2}} \over {9 + 16}} = {{B{A^2} + A{C^2}} \over {25}}\)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) 

Suy ra: \({{B{A^2}} \over 9} = {{A{C^2}} \over {16}} = {{B{C^2}} \over {25}} \Rightarrow {{BA} \over 3} = {{AC} \over 4} = {{BC} \over 5}\)

Ta có các tam giác ABH, CAH, CBA đồng dạng với nhau nên:

\(b:c:a = BA:AC:BC = 3:4:5\) 

Suy ra: \({b \over 3} = {c \over 4} = {a \over 5} \Leftrightarrow {{30} \over 3} = {{40} \over 4} = {a \over 5} \Rightarrow a = {{30} \over 3}.5 = 50\left( {cm} \right)\)

Câu 19. Trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 6cm và AC = 8cm. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N. Tính các đoạn thẳng AM và AN.

Gợi ý làm bài:

Vì BM là đường phân giác của góc B nên ta có:

\({{MA} \over {MC}} = {{AB} \over {BC}} \Rightarrow {{MA} \over {MA + MC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\) (Tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: \(MA = {{AB.(MA + MC)} \over {AB + BC}} = {{6.8} \over {6 + 10}} = {{48} \over {16}} = 3\left( {cm} \right)\)

Vì BN là đường phân giác của góc ngoài đỉnh B nên ta có: \(BM \bot BN\)

Suy ra tam giác BMN vuông tại B.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: \(A{B^2} = AM.AN\)

 Suy ra: \(AN = {{A{B^2}} \over {AM}} = {{{6^2}} \over 3} = {{36} \over 3} = 12\left( {cm} \right)\)

Câu 20. Trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác vuông ABC. Từ một điểm M bất kì trong tam  giác kể MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC, AC, AB. Chứng minh rằng:

\(B{D^2} + C{E^2} + A{F^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.\)

Gợi ý làm bài:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có:

\(B{M^2} = B{D^2} + D{M^2} \Rightarrow B{D^2} = B{M^2} - D{M^2}\)   (1)

Áp dụng đinh lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:

\(C{M^2} = C{E^2} + E{M^2} \Rightarrow C{E^2} = C{M^2} - E{M^2}\)   (2)

Áp dụng định lí pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:

\(A{M^2}{\rm{ = A}}{{\rm{F}}^2} + F{M^2} \Rightarrow A{F^2} = A{M^2} - F{M^2}\)    (3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

\(B{D^2} + C{E^2} + A{F^2}\)

\(= B{M^2} - D{M^2} + C{M^2} - E{M^2} + A{M^2} - F{M^2}\)    (4)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:

\(B{M^2} = B{F^2} + F{M^2}\)        (5)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:

\(C{M^2} = C{D^2} + D{M^2}\)          (6)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:

\(A{M^2} = A{E^2} + E{M^2}\)            (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

\(\eqalign{
& B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} \cr 
& = B{F^2} + F{M^2} - D{M^2} + C{D^2} + D{M^2} - E{M^2} + A{E^2} + E{M^2} - F{M^2} \cr 
& = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2} \cr} \)

Vậy \(B{D^2} + C{E^2}{\rm{ + A}}{{\rm{F}}^2} = D{C^2} + E{A^2} + F{B^2}.\)

Giaibaitap.me