Câu 106 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức

\(A = {{{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a  - \sqrt b }} - {{a\sqrt b  + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}.\)

a)      Tìm điều kiện để A có nghĩa.

b)      Khi A có nghĩa , chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a.

Gợi ý làm bài:

a) Biểu thức A có nghĩa khi và chỉ khi :

\(\left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr 
b \ge 0 \hfill \cr 
\sqrt a - \sqrt b \ne 0 \hfill \cr 
\sqrt {ab} \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr 
b \ge 0 \hfill \cr 
a \ne b \hfill \cr 
ab \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ge 0 \hfill \cr 
b \ge 0 \hfill \cr 
a \ne b \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\) thì A có nghĩa.

b) Ta có :

\(\eqalign{
& A = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }} \cr 
& = {{\sqrt {{a^2}} + 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{\sqrt {{a^2}b} + \sqrt {a{b^2}} } \over {\sqrt {ab} }} \cr 
& = {{\sqrt {{a^2}} - 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{\sqrt {ab} (\sqrt a + \sqrt b )} \over {\sqrt {ab} }} \cr 
& = {{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {\sqrt a - \sqrt b }} - \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \cr 
& = \sqrt a - \sqrt b - \sqrt a - \sqrt b = - 2\sqrt b \cr}\)

Vậy giá trị của A không phu thuộc vào a.

Câu 107 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức

\(B = \left( {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^3}}  - 1}} - {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x  + 1}}} \right)\left( {{{1 + \sqrt {{x^3}} } \over {1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) .

a) Rút gọn B ;

b) Tìm x để B = 3.

Gợi ý làm bài:

a) Ta có: 

\(\eqalign{
& B = \left( {{{2x + 1} \over {{{\sqrt x }^3} - 1}} - {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right)\left( {{{1 + \sqrt {{x^3}} } \over {1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right) \cr 
& = \left[ {{{2x + 1} \over {\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right]\left[ {{{\left( {1 + \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x + \sqrt {{x^2}} } \right)} \over {1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right] \cr 
& = {{2x + 1 - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)} \over {\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\left( {1 - \sqrt x + \sqrt {{x^2}} - \sqrt x } \right) \cr 
& = {{2x + 1 - x + \sqrt x } \over {\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \cr 
& = {{\left( {x + \sqrt x + 1} \right){{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} \cr} \)

\( = \sqrt x  - 1\) (với  \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\)

b) Với B = 3 ta có: \(\sqrt x  - 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x  = 4 \Leftrightarrow x = 16\)

Câu 108 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

\(C = \left( {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 - x}}} \right):\left( {{{3\sqrt x  + 1} \over {x - 3\sqrt x }} - {1 \over {\sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\) và \(x \ne 9\)

a)      Rút gọn C    

b)      Tìm x sao cho C < -1.

Gợi ý làm bài:

a) Ta có:

\(\eqalign{
& C = \left( {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 - x}}} \right):\left( {{{3\sqrt x + 1} \over {x - 3\sqrt x }} - {1 \over {\sqrt x }}} \right) \cr 
& = \left[ {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}} \right]:\left[ {{{3\sqrt x + 1} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} - {1 \over {\sqrt x }}} \right] \cr 
& = {{\sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right) + x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}:{{3\sqrt x + 1 - \left( {\sqrt x - 3} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cr 
& = {{3\sqrt x - x + x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}:{{2\sqrt x + 4} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cr 
& = {{3\sqrt x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}.{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)} \over {2\sqrt x + 4}} \cr 
& = {{3\left( {\sqrt x + 3} \right)} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}.{{ - \sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right)} \over {2\sqrt x + 4}} \cr} \)

\(= {{ - 3\sqrt x } \over {2\sqrt x  + 4}}\) (với \(x > 0\) và \(x \ne 9\)

b) Với \(C <  - 1\) ta có:

\({{ - 3\sqrt x } \over {2\sqrt x  + 4}} <  - 1 \Leftrightarrow {{ - 3\sqrt x } \over {2\sqrt x  + 4}} + 1 < 0\)

\(\Leftrightarrow {{ - 3\sqrt x  + 2\sqrt x  + 4} \over {2\sqrt x  + 4}} < 0 \Leftrightarrow {{4 - \sqrt x } \over {2\sqrt x  + 4}} < 0\)

Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt x  > 0\)

Khi đó: \(2\sqrt x  + 4 > 0\)

Suy ra: \(4 - \sqrt x  < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  > 4 \Leftrightarrow x > 16\)

Vậy với \(x > 16\) thì C < -1.

Giaibaitap.me