Câu 10 trang 101 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho hạ AD = AC.

Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường thẳng vuông góc OH, OK xuống BC và BD (\(H \in BC,K \in BD\)).

a) Chứng minh rằng OH < OK.

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.

Giải

a) Trong ∆ABC ta có:

BC > AB – AC (bất đẳng thức tam giác)

Mà AC = AD (gt)

\( \Rightarrow \) BC > AB – AD

Hay BC > BD

Trong (O) ta có: BC > BD

\( \Rightarrow \) OH < OK (dây lớn hơn gần tâm hơn)

b) Ta có dây cung BC > BD

Suy ra: \(\overparen{BC}\) > \(\overparen{BD}\) (dây lớn hơn căng cung lớn hơn).

Câu 11 trang 101 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Trên dây cung AB của một đường tròn O, lấy hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

a) \(\overparen{AE}\) = \(\overparen{FB}\);

b) \(\overparen{AE}\) < \(\overparen{EF}\).

Giải

a) ∆OABcân tại O (vì OA = OB bán kính)

\( \Rightarrow \widehat A = \widehat B\)

Xét  ∆OAC và ∆OBD:

OA = OB (bán kính)

\(\widehat A = \widehat B\) (chứng minh trên)

AC = BD (gt)

Suy ra: ∆OAC = ∆OBD (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\)       (1)

sđ \(\overparen{AE}\) \( = \widehat {{O_1}}\)                (2)

sđ \(\overparen{BF}\) \( = \widehat {{O_2}}\)                 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\overparen{AE}\) = \(\overparen{BF}\)

b) ∆OAC = ∆BOD (chứng minh trên)

\( \Rightarrow OC = OD\)

\( \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại O nên \(\widehat {ODC} < {90^0}\). Suy ra: \(\widehat {CDF} > {90^0}\)

Trong ∆CDF ta có: \(\widehat {CDF} > {90^0} \Rightarrow CF > CD\) nên AC < CF

Xét ∆OAC và ∆OCF:

OA = OF (bán kính)

OC cạnh chung

AC < CF

Suy ra: \(\widehat {{O_1}} < \widehat {{O_3}}\) (hai tam giác có 2 cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ 3 không bằng nhau, đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

sđ \(\overparen{AE}\) = \(\widehat {{O_1}}\)

sđ \(\overparen{EF}\) \( = \widehat {{O_3}}\)

Suy ra: \(\overparen{AE}\) < \(\overparen{EF}\).

Câu 12 trang 101 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn tâm O. Trên nửa đường tròn bán kính AB lấy hai điểm C, D.

Từ C kẻ vuông góc với AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E.

Từ A kẻ vuông góc với DC, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F.

Chứng minh rằng:

a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau.

b) Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau

c) DE = BF.

Giải

a) ∆ AFB nội tiếp trong (O) có

AB là đường kính nên ∆ AFB vuông tại F.

\( \Rightarrow BF \bot AK\)

\(AK \bot CD\) (gt)

Suy ra: BF // CD

\( \Rightarrow \) \(\overparen{BD}\) = \(\overparen{CF}\) (hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau)

b) \(AB \bot CE\) tại điểm H nên C và H đối xứng qua trục AB.

\( \Rightarrow \) \(\overparen{BC}\) = \(\overparen{BE}\)

\(\overparen{CF}\) = \(\overparen{BD}\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(\overparen{BC}\) + \(\overparen{CF}\) = \(\overparen{BE}\) + \(\overparen{BD}\)

Hay \(\overparen{BF}\) = \(\overparen{DE}\)

c) \(\overparen{BF}\) = \(\overparen{DE}\) (chứng minh trên)

d) BF = DE(hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

Câu 13 trang 101 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho đường tròn (O). Gọi I là điểm chính giữa dây cung AB (Không phải là cung nửa đường tròn) và H là trung điểm của dây AB. Chứng minh rằng đường thẳng IH đi qua tâm O của đường tròn.

Giải

Ta có: \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\)(gt)

\( \Rightarrow IA = IB\) (2 cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau)

\( \Rightarrow I\)  nằm trên đường trung trực của AB

OA = OB (bán kính (O)

\( \Rightarrow O\) nằm trên đường trung trực của AB

Suy ra: OI là đường trung trực của AB

H là trung điểm của AB, do đó OI đi qua trung điểm H

Vậy 3 điểm I, H, O thẳng hàng.

Giaibaitap.me