Bài 34 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) \(y = {{x - 2} \over {3x + 2}}\)                                  b) \(y = {{ - 2x - 2} \over {x + 3}}\)
c) \(y = x + 2 - {1 \over {x - 3}}\)                     d) \(y = {{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}}\)
e) \(y = {{x + 2} \over {{x^2} - 1}}\)                                   f) \(y = {x \over {{x^3} + 1}}\)

Gỉải

a) TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ { - {2 \over 3}} \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x + 2} \over {3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{1 - {2 \over x}} \over {3 + {2 \over x}}} = {1 \over 3}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {1 \over 3}\) nên đường thẳng \(y = {1 \over 3}\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {2 \over 3}} \right)}^ + }} y =  - \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {2 \over 3}} \right)}^ - }} y =  + \infty \); nên đường thẳng \(x =  - {2 \over 3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
b) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 3} \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 2 - {2 \over x}} \over {1 + {3 \over x}}} =  - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - 2\) nên đường thẳng \(y =  - 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ + }} y =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 3} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên đường thẳng \(x =  - 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
c) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y =  + \infty \) nên đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {x - 3}} = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {x - 3}} = 0\) nên đường thẳng \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị.
d) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ + }} y =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên đường thẳng \(x =  - {1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax + b\)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} - 3x + 4} \over {x\left( {2x + 1} \right)}} = {1 \over 2} \cr 
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - {x \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^2} - 3x + 4} \over {2x + 1}} - {x \over 2}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{ - 7x + 8} \over {2\left( {2x + 1} \right)}} = - {7 \over 4} \cr} \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty \)

Đường thẳng \(y = {x \over 2} - {7 \over 4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  + \infty \) và \(x \to  - \infty \)).
Cách khác: 
Ta có: \(y = {1 \over 2}.{{{x^2} - 3x + 4} \over {x + {1 \over 2}}} = {1 \over 2}\left( {x - {7 \over 2} + {{23} \over {4\left( {x + {1 \over 2}} \right)}}} \right)\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {{x \over 2} - {7 \over 4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{23} \over {8\left( {x + {1 \over 2}} \right)}} = 0\) nên đường thẳng \(y = {x \over 2} - {7 \over 4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị.
e) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 0\) nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  - \infty \) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} =  + \infty \) nên đường thẳng \(x =  - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
f) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.

Bài 35 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
\(a)\,y = {{2x - 1} \over {{x^2}}} + x - 3\,;\)             \(b)\,\,{{{x^3} + 2} \over {{x^2} - 2x}}\)

\(c)\,\,{{{x^3} + x + 1} \over {{x^2} - 1\,}}\,\,;\)                             \(d)\,\,{{{x^2} + x + 1} \over { - 5{x^2} - 2x + 3}}\)

Giải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y =  - \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{2x - 1} \over {{x^2}}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {{2 \over x} - {1 \over {{x^2}}}} \right) = 0\) nên y = x – 3 là tiệm cận xiên.
b) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {0;2} \right\}\)
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x - 2} \right)}} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x - 2} \right)}} =  + \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x - 2} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x - 2} \right)}} =  - \infty \) nên \(x = 2\) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax +b\)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^3} + 2} \over {{x^3} - 2{x^2}}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {2 \over {{x^3}}}} \over {1 - {2 \over x}}} = 1 \cr 
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^3} + 2} \over {{x^2} - 2x}} - x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2{x^2} + 2} \over {{x^2} - 2x}} = 2 \cr} \)

Đường thẳng \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị.
c) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\)
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng .
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax + b\)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^3} + x + 1} \over {x\left( {{x^2} - 1} \right)}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}} \over {1 - {1 \over {{x^2}}}}} = 1 \cr 
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^3} + x + 1} \over {{x^2} - 1}}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} - 1}} = 0 \cr} \)

\( \Rightarrow y = x\) là tiệm cận xiên.
d) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;{3 \over 5}} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \over { - 5 - {2 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}} =  - {1 \over 5}\) nên \(y =  - {1 \over 5}\) là tiệm cận ngang.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}} =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ - }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - 5x} \right)}} =  + \infty \) nên \(x = {3 \over 5}\) là tiệm cận đứng.

Bài 36 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

\(a)\,\,y = \sqrt {{x^2} - 1} \,\,\);        b) \(y = 2x + \sqrt {{x^2} - 1} \)
c) \(y = x + \sqrt {{x^2} + 1} \) d) \(y = \sqrt {{x^2} + x + 1} \).

Gỉải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash ( - \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  + \infty \)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}}  = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị khi \(x \to  + \infty \).
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \over x}\)

\(=  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}}  =  - 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = -x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  - \infty \)).
b) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash ( - \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  + \infty \)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right)\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 + \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 3\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  - x} \right)\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = 3x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  + \infty \)).
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  - \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right)\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 - \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  + x} \right) \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  - x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to  - \infty \))
c) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to  + \infty \)

\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2 \cr 
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr} \)

Đường thẳng \(y = 2x\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to  + \infty \))
* Tiệm cận khi \(x \to  - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {1 \over {x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = 0\)
Đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang (khi \(x \to  - \infty \))
d) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}  = 1\)

\(\eqalign{
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x} \right) \cr 
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }+1} = {1 \over 2} \cr} \)

Đường thẳng \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to  + \infty \))
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x + 1} } \over x} \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } -\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}  =  - 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1}  + x} \right) \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1}  - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{1 + {1 \over x}} \over { - \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }-1} =  - {1 \over 2}\)
Đường thẳng \(y =  - x - {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to  - \infty \))

Giaibaitap.me