Bài 43 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y =  - {x^4} + 2{x^2} - 2\)
b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình \( - {x^4} + 2{x^2} - 2 = m\).
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a)

Gỉải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - \infty \cr 
& y' = - 4{x^3} + 4x = - 4x\left( {{x^2} - 1} \right);\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0,\,\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = - 2 \hfill \cr 
x = \pm 1,\,\,\,\,y\left( { \pm 1} \right) = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng biến thiên: 

Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\);
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = -1 ; x = 1\);
Giá trị cực đại \(y\left( { \pm 1} \right) =  - 1\). Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\), giá trị cực tiểu \(y(0) = -2\).

\(\eqalign{
& y'' = - 12{x^2} + 4 = - 4\left( {3{x^2} - 1} \right) \cr 
& y'' = 0 \Leftrightarrow x = \pm {1 \over {\sqrt 3 }};\,\,y\left( { \pm {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) = {{ - 13} \over 9} \cr} \)

Xét dấu y”
   
Đồ thị có hai điểm uốn \({I_1}\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)\) và \({I_2}\left( {{1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)\)
Điểm đặc biệt \(x = 2 \Rightarrow y =  - 10\)
Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

b) Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C) hàm số \(y =  - {x^4} + 2{x^2} - 2\) với đường thẳng \(y = m\).
Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:
- Nếu \(m < -2\) thì phương trình có \(2\) nghiệm;
- Nếu \(m = -2\) thì phương trình có \(3\) nghiệm;
- Nếu \(-2 < m < -1\) thì phương trình có \(4\) nghiệm;
- Nếu \(m = -1\) thì phương trình có \(2\) nghiệm;
- Nếu \(m> -1\) thì phương trình vô nghiệm.
c) Đồ thị có hai điểm uốn \({I_1}\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)\) và \({I_2}\left( {{1 \over {\sqrt 3 }}; - {{13} \over 9}} \right)\)
phương trình tiếp tuyến của đồ thị \({I_1}\) là:

\(\eqalign{
& y + {{13} \over 9} = y'\left( { - {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)\left( {x + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr&\Leftrightarrow y + {{13} \over 9} = {{ - 8} \over {3\sqrt 3 }}\left( {x + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right) \cr 
& \Leftrightarrow y = {{ - 8} \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3} \cr} \)

Tương tự tiếp tuyến của đồ thị \({I_2}\) là : \(y = {8 \over {3\sqrt 3 }}x - {7 \over 3}\)

Bài 44 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\)             b) \(y =  - {x^4} - 2{x^2} + 1\)

Gỉải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr 
& y' = 4{x^3} - 6x;\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 2 \hfill \cr 
x = \pm \sqrt {{3 \over 2}} ;\,\,y\left( { \pm \sqrt {{3 \over 2}} } \right) = - {1 \over 4} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng biến thiên:

\(y'' = 12{x^3} - 6;\)

\(y'' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,y = \left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4}\)
Xét dấu \(y”\)
 
Đồ thị có hai điểm uốn \({I_1}\left( { - \sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\)  và \({I_2}\left( {\sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\)
Điểm đặc biệt: \(x =  \pm 1 \Leftrightarrow y = 0,x =  \pm \sqrt 2  \Leftrightarrow y = 0.\)
Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

b) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - \infty \cr 
& y' = - 4{x^3} - 4x = - 4x\left( {{x^2} + 1} \right) \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow x = 0;y\left( 0 \right) = 1 \cr} \)

Bảng biến thiên:

\(y'' =  - 12{x^2} - 4 =  - 4\left( {3{x^2} + 1} \right) < 0\) với mọi \(x\)
Đồ thị không có điểm uốn.

Điểm đặc biệt \(x =  \pm 1 \Rightarrow y =  - 2\)
Đồ thị:

Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

Bài 45 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\).

b) Tùy theo các giá trị của \(m\), hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \({x^3} - 3{x^2} + m + 2 = 0\)

Giải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr 
& y' = 3{x^2} - 6x = 3x\left( {x - 2} \right);\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 1 \hfill \cr 
x = 2;\,\,\,\,y\left( 2 \right) = - 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng \((0;2)\).

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 0\), giá trị cực đại \(y(0) = 1\); hàm số đat cực tiểu tại điểm \(x = 2\), giá trị cực tiểu \(y(2) = -3\).

\(y'' = 6x - 6;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) =  - 1\)

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn của đồ thị \(I(1;-1)\)    

Điểm đặc biệt \(x =  - 1 \Rightarrow y =  - 3\)

Đồ thị: đồ thị nhận điểm \(I(1;-1)\) làm tâm đối xứng.

b) Ta có: \({x^3} - 3{x^2} + m + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 1 =  - m - 1\)

Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\) và 

đường thẳng \(y = - m -1\). Dựa vào đồ thị ta có:

- Nếu \( - m - 1<-3\Rightarrow m>2\) thì phương trình có \(1\) nghiệm.

- Nếu \(-m-1=-3\Rightarrow m=2\) thì phương trình có \(2\) nghiệm.

- Nếu \(-3< -m-1<1\Rightarrow -2<m<2\) thì phương trình có \(3\) nghiệm.

- Nếu \(-m-1=1\Rightarrow m=-2\) thì phương trình có \(2\) nghiệm

- Nếu \(-m-1>1\Rightarrow m<-2\) thì phương trình có \(1\) nghiệm.

Giaibaitap.me