Trang chủ
Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết
Bình chọn:
4 trên 7 phiếu

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao

CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC - TOÁN 12 NÂNG CAO

Giải bài tập trang 190, 191 bài 1 số phức SGK Giải tích 12 Nâng cao. Câu 10: Chứng minh rằng với mọi số phức...

Bài 10 trang 190 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số phức \(z \ne 1\), ta có: \(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = {{{z^{10}} - 1} \over {z - 1}}\).

Giải

Ta có: \(\left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right)\left( {z - 1} \right)\)

\(= z + {z^2} + ... + {z^{10}} - \left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right) \)

\(= {z^{10}} - 1\)

Vì \(z \ne 1\) nên chia hai vế cho \(z - 1\) ta được: \(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = {{{z^{10}} - 1} \over {z - 1}}\)

Bài 11 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

\({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\);               \({{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}\);                     \({{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\)

Giải

* Ta có \(\overline {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}}  = \overline {{z^2}}  + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^2}}  = {\left( {\overline z } \right)^2} + {\left( {\overline {\overline z } } \right)^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} + {z^2}\)

\( \Rightarrow {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\)  là số thực.

Cách khác: Gọi \(z=a+bi\)

Ta có: \({z^2} + {\overline z ^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} = 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\) là số thực

* \(\overline {\left( {{{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}} \right)}  = {{\overline z  - z} \over {{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {z^3}}} =  - {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\)  \(\Rightarrow {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) là số ảo.

*  \(\overline {\left( {{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}} \right)}  = {{{({\overline z })^2} - {z^2}} \over {1 + \overline z z}} =  - {{{z^2}-{({\overline z })^2}} \over {1 + \overline z .z}} \Rightarrow {{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\) là số ảo.

Bài 12 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) \(z^2\) là số thực âm;

b  \(z^2\) là là số ảo;

c) \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}\);

d) \({1 \over {z - i}}\) là số ảo.

Giải


Giả sử \(z=x+yi\)

a) \({z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)

\(z^2\) là số thực âm\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  xy = 0 \hfill \cr  {x^2} - {y^2} < 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  y \ne 0 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục \(Oy\) trừ điểm \(O\).

b)  \({z^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)

\(z^2\) là số ảo \( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\) hoặc \(y = -x\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hai đường phân giác của các gốc tọa độ.

c)

Ta có \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi ={x^2} - {y^2} - 2xyi\)

\(\Leftrightarrow xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  y = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là các trục tọa độ.

d) \({1 \over {z - i}}\) là số ảo \( \Leftrightarrow z - i\) là số ảo và \(z \ne i \Leftrightarrow z\) là số ảo khác i.

Vậy tập hợp các điểm cầm tìm là trục ảo trừ điểm \(I(0; 1)\) biểu diễn số \(i\).

Giaibaitap.me

Góp ý - Báo lỗi

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Giaibaitap.me

Bài giải mới nhất

Bài giải mới nhất các môn khác