Bài 46 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho hàm số: \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right)\)
a) Tìm các giá trị của \(m\) để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m = -1\)

Giải

a) Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:

\(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr} \right.\)

đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại \(3\) điểm phân biệt khi và chỉ khia phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ' > 0 \hfill \cr
f\left( { - 1} \right) \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{m^2}-m - 2 > 0 \hfill \cr
- m + 3 \ne 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
m \ne 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {2;3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right). \cr} \)

b) Với \(m =-1\) ta có \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = {x^3} - {x^2} - x + 1\)

TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr
& y' = 3{x^2} - 2x - 1;\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - {1 \over 3} \hfill \cr} \right.;\,\,y\left( 1 \right) = 0;\,\,y\left( { - {1 \over 3}} \right) = {{32} \over {27}} \cr} \)

Bảng biến thiên: 

\(y'' = 6x - 2;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 3};\,y\left( {{1 \over 3}} \right) = {{16} \over {27}}\)

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I\left( {{1 \over 3};{{16} \over {27}}} \right)\)

Điểm đồ thị đi qua:

\(x = 0 \Rightarrow y = 1\)

\(x = 2 \Rightarrow y = 3\)

\(x = -1 \Rightarrow y = 0\)

Đồ thị: Đồ thị nhận điểm uốn \(I\) làm tâm đối xứng.

Bài 47 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho hàm số: \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với \(m = 2\).
b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của \(m\).

Giải

a) Với \(m = 2\) ta có: \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr
& y' = 4{x^3} - 6x;\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = \pm \sqrt {{3 \over 2}} \hfill \cr} \right.;\cr&y\left( 0 \right) = 2;\,y\left( { \pm \sqrt {{3 \over 2}} } \right) = - {1 \over 4} \cr} \)

Bảng biến thiên:

\(y'' = 12{x^2} - 6;\)

\(y'' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,y\left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4}\)

Đồ thị có hai điểm uốn : \({I_1}\left( { - \sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\) và \({I_2}\left( {\sqrt {{1 \over 2}} ;{3 \over 4}} \right)\)

Điểm đặc biệt 

\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr
{x^2} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm 1 \hfill \cr
x = \pm \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

b) Đồ thị của hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) khi và chỉ khi 

\({y_o} = x_o^4 - \left( {m + 1} \right)x_o^2 + m \)

\(\Leftrightarrow \left( {1 - x_o^2} \right)m + x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Đồ thị đi qua điểm \(\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) với moi giá trị của \(m\) khi và chỉ khi phương trình \((1)\) nghiệm đúng với mọi \(m\), tức là:

\(\left\{ \matrix{
1 - x_o^2 = 0 \hfill \cr
x_o^4 - x_o^2 - {y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_o} = 1 \hfill \cr
{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\text{ hoặc }\,\,\,\,\left\{ \matrix{
{x_o} = - 1 \hfill \cr
{y_o} = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định \((-1;0)\) và \((1;0)\).

Bài 48 trang 45 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho hàm số: \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m\)
a) Tìm các giá trị của \(m\) sao cho hàm số có ba cực trị.
b) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với \(m = {1 \over 2}\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm uốn.

Giải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(y = 4{x^3} - 4mx = 4x\left( {{x^2} - m} \right);\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
{x^2} = m \hfill \cr} \right.\)

Nếu \(m> 0\) thì \(y’=0\) \( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x =  - \sqrt m \) hoặc \(x = \sqrt m \)

Hàm số có ba điểm cực trị.
Nếu \(m \le 0\) thì \({x^2} - m \ge 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)

Hàm số có \(1\) cực tiểu.
Vậy hàm số có ba cực trị khi và chỉ khi \(m>0\).
b) Với \(m = {1 \over 2}\) ta có \(y = {x^4} - {x^2} + 1\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \cr
& y' = 4{x^3} - 2x = 2x\left( {2{x^2} - 1} \right);\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 1 \hfill \cr
x = \pm \sqrt {{1 \over 2}} ;\,\,y\left( { \pm \sqrt {{1 \over 2}} } \right) = {3 \over 4} \hfill \cr} \right. \cr} \)

\(y'' = 12{x^2} - 2;\)

\(y'' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm {{\sqrt 6 } \over 6};\,\,y\left( { \pm {{\sqrt 6 } \over 6}} \right) = {{31} \over {36}}\)

Xét dấu y”

Đồ thị có hai điểm uốn: \({I_1}\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)\) và \({I_2}\left( {{{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)\)
Điểm đặc biệt: \(x =  \pm 1 \Rightarrow y = 1\)

Đồ thị: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Phương trình tiếp tuyến tại  \({I_1}\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)\) là \(y - {{31} \over {36}} = y'\left( { - {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)\left( {x + {{\sqrt 6 } \over 6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow y = {4 \over {3\sqrt 6 }}x + {{13} \over {12}}\)

+ Tương tự phương trình tiếp tuyến tại \({I_2}\left( {{{\sqrt 6 } \over 6};{{31} \over {36}}} \right)\) là: \(y =  - {4 \over {3\sqrt 6 }}x + {{13} \over {12}}\)

Giaibaitap.me