Bài 45 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xác định số b dương để tích phân $\int\limits_0^b {\left( {x - {x^2}} \right)dx}$ có giá trị lớn nhất.

Giải

Ta có $\int\limits_0^b {\left( {x - {x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {{{{x^2}} \over 2} - {{{x^3}} \over 3}} \right)} \right|_0^b = {{{b^2}} \over 2} - {{{b^3}} \over 3}$
Xét hàm số $I\left( b \right) = {{{b^2}} \over 2} - {{{b^3}} \over 3}$ với $b>0$
ta có

$\eqalign{ & I'\left( b \right) = b - {b^2} \cr  & I'\left( b \right) = 0 \Leftrightarrow b = 0;b = 1 \cr}$

Bảng biến thiên

$I(b)$ đạt giá trị lớn nhất bằng ${1\over 6}$ khi $b=1$

Bài 46 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Cho biết $\int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx}  =  - 1,\int\limits_7^9 {f\left( x \right)} dx = 5,\int\limits_7^9 {g\left( x \right)} dx = 4.$

Hãy tìm:

a) $\int\limits_1^9 { - 2f\left( x \right)} dx;$                   $b)\,\int\limits_7^9 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx;$
$c)\,\int\limits_7^9 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx;}$     $d)\,\int\limits_1^7 {f\left( x \right)} dx;$

Giải

a) $\int\limits_1^9 { - 2f\left( x \right)} dx =  - 2\int\limits_1^9 {f\left( x \right)dx =  - 2\left( { - 1} \right)}  = 2$

b) $\int\limits_7^9 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} dx = \int\limits_7^9 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_7^9 {g\left( x \right)} dx$

$= 5 + 4 = 9$

c) $\int\limits_7^9 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx = } 2\int\limits_7^9 {f\left( x \right)} dx - 3\int\limits_7^9 {g\left( x \right)} dx$

$= 2.5 - 3.4 =  - 2$

d) $\int\limits_1^7 {f\left( x \right)} dx = \int\limits_1^9 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_9^7 {f\left( x \right)} dx$

$= \int\limits_1^9 {f\left( x \right)} dx - \int\limits_7^9 {f\left( x \right)} dx =  - 1 - 5 =  - 6$

Bài 47 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số f liên tục trên $\left[ {a;b} \right].$ Tỉ số : ${1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx$ được gọi là giá trị trung bình của hàm số f trên $\left[ {a;b} \right]$ và được kí hiệu là $m\left( f \right)$. Chứng minh rằng tồn tại điểm $c \in \left[ {a;b} \right]$ sao cho $m\left( f \right) = f\left( c \right)$

Giải

Giả sử m và M tương ứng là giá trị bé nhất và lớn nhất của hàm số f trên $\left[ {a;b} \right]$.
Ta có $m \le f\left( x \right) \le M\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]$
Theo kết quả

$f(x)>g(x)$ trên đoạn $[a;b]$ thì $\int\limits_a^b {f(x)} dx > \int\limits_a^b {g(x)dx}$

Ta có:

$\eqalign{ & \int\limits_a^b {mdx \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} } \le \int\limits_a^b {Mdx}\cr& \Rightarrow m\left( {b - a} \right) \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \le M\left( {b - a} \right)} \cr  & \Rightarrow m \le {1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \le M \cr}$

Vì $f$ là hàm liên tục nên tồn tại $c \in \left[ {a;b} \right]$ để $f\left( c \right) = {1 \over {b - a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx.$

Bài 48 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Giả sử một vật từ trạng thái nghỉ khi $t=0$ (s) chuyển động thẳng với vận tốc $v\left( t \right) = t\left( {5 - t} \right)\,\,\,\left( {m/s} \right)$. Tìm quãng đường vật đi được cho tới khi nó dừng lại.

Giải

Ta có

$v\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 0 \hfill \cr  t = 5 \hfill \cr} \right.$

Vật dừng lại tại thời điểm $t=5$. Quãng đường vật đi được là

$S = \int\limits_0^5 {t\left( {5 - t} \right)} dt = \left. {\left( {{{5{t^2}} \over 2} - {{{t^3}} \over 3}} \right)} \right|_0^5 = {{125} \over 6}\,\,\,\left( m \right)$

Giaibaitap.me