Bài 41 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right);\)          b) \(y = 8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}};\)
c) \(y = {x^{{1 \over 2}}}\sin \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right);\)      d) \(y = {{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}};\)

Giải

a) \(\int {2x\left( {1 - {x^{ - 3}}} \right)} dx = \int {\left( {2x - 2{x^{ - 2}}} \right)dx }\)

\(= {x^2} + {2 \over x} + C\)

b) \(\int {\left( {8x - {2 \over {{x^{{1 \over 4}}}}}} \right)dx = } \int {\left( {8x - 2{x^{ - {1 \over 4}}}} \right)} dx\)

\(= 4{x^2} - {8 \over 3}{x^{{3 \over 4}}} + C\)

c) Đặt 

\(\eqalign{
& u = {x^{{3 \over 2}}} + 1 \Rightarrow du = {3 \over 2}{x^{{1 \over 2}}}dx \Rightarrow {x^{{1 \over 2}}}dx = {2 \over 3}du \cr 
& \int {{x^{{1 \over 2}}}\sin\left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right)dx = {2 \over 3}\int {\sin udu} }\cr&= - {2 \over 3}\cos u + C = - {2 \over 3}\cos \left( {{x^{{3 \over 2}}} + 1} \right) + C\cr} \)

d) Đặt \(u = \cos \left( {2x + 1} \right) \Rightarrow du =  - 2\sin \left( {2x + 1} \right)dx \)

\(\Rightarrow \sin \left( {2x + 1} \right)dx =  - {1 \over 2}du\)

Do đó \(\int {{{\sin \left( {2x + 1} \right)} \over {{{\cos }^2}\left( {2x + 1} \right)}}} dx =  - {1 \over 2}\int {{{du} \over {{u^2}}} = {1 \over {2u}}} + C\)

\(= {1 \over {2\cos \left( {2x + 1} \right)}} + C\)

Bài 42 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

a) \(y = {1 \over {{x^2}}}\cos \left( {{1 \over x} - 1} \right)\);           b) \(y = {x^3}{\left( {1 + {x^4}} \right)^3}\);
c) \(y = {{x{e^{2x}}} \over 3}\);                            d) \(y = {x^2}{e^x}\).

Giải

a) Đặt \(u = {1 \over x} - 1 \Rightarrow du =  - {1 \over {{x^2}}}dx \Rightarrow {{dx} \over {{x^2}}} =  - du\)
Do đó \(\int {{1 \over {{x^2}}}} \cos \left( {{1 \over x} - 1} \right)dx =  - \int {\cos udu }\)

\(=  - \sin u + C =  - \sin \left( {{1 \over x} - 1} \right) + C\)

b) Đặt \(u = 1 + {x^4} \Rightarrow du = 4{x^3}dx \Rightarrow {x^3}dx = {{du} \over 4}\)

\(\int {{x^3}{{\left( {1 + {x^4}} \right)}^3}dx = {1 \over 4}\int {{u^3}du = {{{u^4}} \over {16}} + C} } \)

\(= {1 \over {16}} {\left( {1 + {x^4}} \right)^4} + C\)

c) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {x \over 3} \hfill \cr 
dv = {e^{2x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over 3}dx \hfill \cr 
v = {1 \over 2}{e^{2x}} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra: \(\int {{{x{e^{2x}}} \over 3}dx = {1 \over 6}x{e^{2x}} - {1 \over 6}\int {{e^{2x}}dx} } \)

\(= {1 \over 6}x{e^{2x}} - {1 \over {12}}{e^{2x}} + C \)

d) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr 
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr 
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra \(\int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx} } \)   (1)

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(\int {x{e^x}dx = x{e^x} - \int {{e^x}dx = x{e^x} - {e^x} + C} } \)

Từ (1) suy ra \(\int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} - 2x{e^x} + 2{e^x} + C}  \)

\(= {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + C\)

Bài 43 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

a) \(y = x{e^{ - x}}\);                    b) \(y = {{\ln x} \over x}\).

Giải

a) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = {e^{ - x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = - {e^{ - x}} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra \(\int {x{e^{ - x}}dx =  - x{e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}dx} }\)

\(=  - x{e^{ - x}} - {e^{ - x}} + C =  - {e^{ - x}}\left( {x + 1} \right) + C \)

b) Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = {{dx} \over x}\)

Do đó \(\int {{{\ln x} \over x}} dx = \int {udu = {{{u^2}} \over 2}}  + C = {{{{(\ln x)}^2}} \over 2} + C\)

Bài 44 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm hàm số \(y = f(x)\) nếu biết \(dy = 12x{\left( {3{x^2} - 1} \right)^3}dx\) và \(f(1) = 3\).

Giải

Ta có \(y = f\left( x \right) = \int {dy = 12\int {x{{\left( {3{x^2} - 1} \right)}^3}dx} } \)

Đặt \(u = 3{x^2} - 1 \Rightarrow du = 6xdx \Rightarrow xdx = {{du} \over 6}\)

Do đó \(f\left( x \right) = 2\int {{u^3}} du = {{{u^4}} \over 2} + C = {1 \over 2}{\left( {3{x^2} - 1} \right)^4} + C\)

Vì \(f\left( 1 \right) = 3\) nên \({1 \over 2}{2^4} + C = 3 \Rightarrow C =  - 5\)

Vậy \(f\left( x \right) = {1 \over 2}{\left( {3{x^2} - 1} \right)^4} - 5\)

Giaibaitap.me