Bài 40 trang 43 Giải tích 12 Nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

           \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.

Giải

a) Tập xác đinh: \(D=\mathbb R\)

Sự biến thiên:

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} + 6x \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\)

- Cực trị:

  Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2\;;y_{CĐ}=0\)

  Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\;;y_{CT}=-4\)

- Giới hạn:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = - \infty \cr} \)

\(\eqalign{
& y'' = 6x + 6 \cr 
& y'' = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \cr} \)

Điểm uốn \(I(-1;-2)\)

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận điiểm \(I(-1;-2)\) làm tâm đối xứng.

b) \(y'(-1)=-3\)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại \(I(-1;-2)\) là:

\(y=-3(x+1)+(-2) \Leftrightarrow y =  - 3x - 5\)

c) Đồ thị nhận \(I(-1;-2)\) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& y\left( { - 1 + x} \right) + y\left( { - 1 - x} \right) = 2.\left( { - 2} \right) \cr 
& \Leftrightarrow {\left( { - 1 + x} \right)^3} + 3{\left( { - 1 + x} \right)^2} - 4 + {\left( { - 1 - x} \right)^3} \cr&\;\;\;+ 3{\left( { - 1 - x} \right)^2} - 4 = - 4 \cr 
& \Leftrightarrow - 1 + 3x - 3{x^2} + {x^3} + 3 - 6x + 3{x^2} - 4 - 1 \cr&\;\;\;- 3x - 3{x^2} - {x^3} + 3 + 6x + 3{x^2} - 4 = - 4 \cr 
& \Leftrightarrow - 4 = - 4\,\,\forall x \cr} \)

\(\Leftrightarrow I(-1;-2)\) là tâm đối xứng của đồ thị.

Bài 41 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1\).

b) Tùy theo các giá trị của \(m\), hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \( - {x^3} + 3{x^2} - 1 = m\)

Giải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty \cr 
& y' = - 3{x^2} + 6x = - 3x\left( {x - 2} \right);\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,y\left( 0 \right) = - 1 \hfill \cr 
x = 2;\,y\left( 2 \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng biến thiên:

Hàm đồng biến trên khoảng \((0;2)\), nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\), giá trị cực tiểu \(y(0) = -1\). Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 2\), giá trị cực đại \(y(2) = 3\).

Đồ thị: \(y'' =  - 6x + 6;\,\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) = 1\)

Xét dấu y”:

\(I(1;1)\) là điểm uốn của đồ thị

Điểm đặc biệt:

\(x = 0 \Rightarrow y =  - 1\)

\(x =  - 1 \Rightarrow y = 3\)

b) Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị \((C)\) hàm số \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 1\) với đường thẳng \(y = m\) cùng phương với trục \(Ox\).

Dựa vào đồ thị ta có kết quả sau:

- Nếu \(m < -1\) hoặc \(m > 3\) thì phương trình có \(1\) nghiệm;

- Nếu \(m = -1\) hoặc \(m = 3\) thì phương trình có \(2\) nghiệm;

- Nếu \(-1 < m < 3\) thì phương trình có \(3\) nghiệm.

Bài 42 trang 44 SGK giải tích 12 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)\(y = {1 \over 3}{x^3} - {x^2} - 3x - {5 \over 3}\)

b) \(y = {x^3} - 3x + 1\)

c) \(y =  - {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 2x - {2 \over 3}\)

d) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1\)

Gỉải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr 
& y' = {x^2} - 2x - 3;\cr&y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = 3 \hfill \cr} \right.;\cr&y\left( { - 1} \right) = 0;\,\,y\left( 3 \right) = {{ - 32} \over 3} \cr} \)

Bảng biến thiên:

\(y'' = 2x - 2;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) =  - {{16} \over 3}\)

Xét dấu y”

Điểm uốn \(I\left( {1; - {{16} \over 3}} \right)\)

Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = {{ - 5} \over 3}\)

Đồ thị: Đồ thị nhận \(I\left( {1; - {{16} \over 3}} \right)\) làm tâm đối xứng.

b) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr 
& y' = 3{x^2} - 3;\,y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr} \right.;\cr&,y\left( { - 1} \right) = 3;\,y\left( 1 \right) = - 1 \cr} \)

Bảng biến thiên:

\(y'' = 6x;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0;\,y\left( 0 \right) = 1\)

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I(0;1)\)

Điểm đặc biệt:\(x = 2 \Rightarrow y = 3\)

Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(0;1)\) làm tâm đối xứng.

c) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \)

\(y' =  - {x^2} + 2x - 2 < 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\)

Bảng biến thiên:

\(y'' =  - 2x + 2;\,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;\,y\left( 1 \right) =  - 2\)

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I(1;-2)\)

Điểm đặc biết:\(x = 0 \Rightarrow y = {{ - 2} \over 3}\)

Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(1;-2)\) làm tâm đối xứng.

d) TXĐ: \(D =\mathbb R\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

\(y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x = 1\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\)

Bảng biến thiên:

Xét dấu \(y”\)

Điểm uốn \(I(1;2)\)

Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 1\)

Đồ thị: Đồ thị nhận \(I(1;2)\) làm tâm đối xứng.

Giaibaitap.me