Bài 33 Trang 173 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt 5 {y^2},x = 0,y =  - 1\) và \(y = 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Giải

\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {(\sqrt 5 } {y^2}{)^2}dy = 5\pi \int\limits_{ - 1}^1 {{y^4}} dy = \pi {y^5}\mathop |\nolimits_{ - 1}^1  = 2\pi \)

Bài 34 Trang 174 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

Đồ thị các hàm số \(y = x, y = 1\) và \(y = {{{x^2}} \over 4}\) trong miền \(x \ge 0,y \le 1.\)

b) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 4,y = {x^2}\), trục tung và đường thẳng \(x = 1\)

c) Đồ thị các hàm số \(y = {x^2},y = 4x - 4\) và \(y = -4x – 4\).

Giải

a)

Diện tích hình thang \(OABC\) là:
\({S_1} = (2 + 1){1 \over 2} = {3 \over 2}\)
Diện tích tam giác cong \(OBC\) là hình phẳng giới hạn bởi: \(y = 0,x = 2,y = {{{x^2}} \over 4}\) là:

\({S_2} = \int\limits_0^2 {{{{x^2}} \over 4}} dx = \left. {{{{x^3}} \over {12}}} \right|_0^2 = {2 \over 3}\)

Diện tích cần tìm là \(S = {S_1} - {S_2} = {3 \over 2} - {2 \over 3} = {5 \over 6}\)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^4} - 4{x^2} + 4 = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr 
{x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm 1 \hfill \cr 
x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 4{x^2} + 4 - {x^2}} \right|} dx \cr&= \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right|} dx \cr 
& = \int\limits_0^1 {({x^4} - 5{x^2}} + 4)dx \cr&= \left. {\left( {{{{x^5}} \over 5} - {{5{x^3}} \over 3} + 4x} \right)} \right|_0^1 = {{38} \over {15}} \cr} \)

c)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(y = 4x – 4\) là:

\(\eqalign{
& {x^2} = 4x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2. \cr} \)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng
\(y = -4x – 4\) là:

\(\eqalign{
& {x^2} = - 4x - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 2. \cr} \)

\(\eqalign{
& S = \int\limits_{ - 2}^0 {({x^2} + 4x + 4)} dx + \int\limits_0^2 {({x^2} - 4x + 4)} dx \cr 
& = \left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_{ - 2}^0 + \left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} - 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^2\cr& = {8 \over 3} + {8 \over 3} = {{16} \over 3} \cr} \)

Bài 35 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} + 1\) và \(y = 3 – x\).
b) Các đường có phương trình \(x = {y^3}\), \(y = 1\), và \(x = 8\).
c) Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt x ,y = 6 - x\) và trục hoành.

Giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^2} + 1 = 3 - x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Diện tích cần tìm là:

\(\eqalign{
& S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + 1 - (3 - x)} \right|} dx = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^2} + x - 2} \right|} dx \cr 
& = \int\limits_{ - 2}^1 {( - {x^2} - x + 2)dx = \left. {\left( { - {{{x^3}} \over 3} - {{{x^2}} \over 2} + 2x} \right)} \right|} _{ - 2}^1 \cr&= {9 \over 2} \cr} \)

b)Diện tích cần tìm là:

\(S = \int\limits_1^8 {({x^{{1 \over 3}}} - 1)dx = \left. {\left( {{3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} - x} \right)} \right|_1^8}  = {{17} \over 4}\)

c) Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:

\(\eqalign{
& \sqrt x = 6 - x \Leftrightarrow x + \sqrt x - 6 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4 \cr} \)

\(S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx + {1 \over 2}.2.2 = \left. {{2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}} \right|_0^4}  + 2 = {{22} \over 3}\)

Bài 36 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tính thể tích của vật thể \(T\) nằm giữa hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = \pi \), biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \((0 \le x \le \pi )\) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \).

Giải

Ta có:

\(\eqalign{
& S(x) = {(2\sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} )^2} = 4\sin x \cr 
& V = \int\limits_0^\pi {S(x)dx = \int\limits_0^\pi {4\sin xdx = - 4\cos x\mathop |\nolimits_0^\pi } } = 8 \cr} \)

Giaibaitap.me