Bài 5 trang 190 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Cho \(z =  - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i.\)

Hãy tính \({1 \over z}\); \(\overline z \); \({z^2}\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1 + z + {z^2}\).

Giải

Ta có \(\left| z \right| = \sqrt {{{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^2} + {{\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)}^2}}  = 1\)

Nên \({1 \over z} = {{\overline z } \over {{{\left| z \right|}^2}}} = \overline z  =  - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i\)

\({z^2} = {\left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2} = {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 2}i - {3 \over 4} =  - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i\)

\({\left( {\overline z } \right)^3} = \overline z .{\left( {\overline z } \right)^2} = \left( { - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right).{\left( {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}\)

\( = \left( { - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right).\left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) = {\left( { - {1 \over 2}} \right)^2} - {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}\)

\(= {1 \over 4} + {3 \over 4} = 1\)

\(1 + z + {z^2} = 1 + \left( { - {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) + \left( { - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right) = 0\)

Bài 6 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng \({1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right)\), phần ảo của số phức z bằng \({1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right);\)

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(z =  - \overline z ;\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có \(\overline {z + z'}  = \overline z  + \overline {z'} ,\,\overline {zz'}  = \overline z .\,\overline {z'} \), và nếu \(z \ne 0\) thì \({{\overline {z'} } \over {\overline z }} = \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} \).

Giải

a) Giả sử \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\) thì \(\overline z  = a - bi\)

Từ đó suy ra \(a = {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right);\,\,b = {1 \over {2i}}\left( {z - \overline z } \right)\)

b) z là số ảo khi và chỉ khi phần thực của z bằng 0

   \(\Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {z + \overline z } \right) = 0 \Leftrightarrow z =  - \overline z \)

c) Giả sử \(z=a+bi;\; z'=a'+b'i\) \((a,b,a',b'\in\mathbb R)\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& \overline {z + z'} = \overline {(a + a') + (b + b')i} = a + a' - (b + b')i \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a - bi + a' - b'i = \overline z + \overline {z'} \cr 
& \overline {z.z'} = \overline {\left( {a + bi} \right).\left( {a' + b'i} \right)} \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overline {\left( {aa' - bb'} \right) + \left( {ab' + a'b} \right)i} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = aa' - bb' - \left( {ab' + a'b} \right)i \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {a - bi} \right)\left( {a' - b'i} \right) = \overline z .\overline {z'} \cr 
& \overline {\left( {{{z'} \over z}} \right)} = \overline {\left( {{{z'.\overline z } \over {z.\overline z }}} \right)} = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z'} .\overline {\overline z } = {1 \over {z.\overline z }}.\overline {z'} .z = {{\overline {z'} } \over {\overline z }} \cr} \)

Bài 7 trang 190 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(m > 0\), ta có:

           \({i^{4m}} = 1\); \({i^{4m + 1}} = i\); \({i^{4m + 2}} =  - 1\); \({i^{4m + 3}} =  - i\)

Giải

Vì \({i^4} = {\left( {{i^2}} \right)^2} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\) nên \({i^{4m}} = 1\) với mọi m nguyên dương.

Từ đó suy ra        \({i^{4m + 1}} = {i^{4m}}.i = i\)

                            \({i^{4m + 2}} = {i^{4m}}.{i^2} =  - 1\)

                            \({i^{4m + 3}} = {i^{4m}}.{i^3} =  - i\)

Bài 8 trang 190 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng:
a)) Nếu vec tơ \(\overrightarrow u \) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\overrightarrow u \) là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\), và từ đó nếu các điểm \({A_1},{A_2}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|;\)

b) Với mọi số phức z, z', ta có \(\left| {zz'} \right| = \left| z \right|\left| {z'} \right|\) và khi \(z \ne 0\) thì \(\left| {{{z'} \over z}} \right| = {{|z'|} \over {|z|}};\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có \(|z + z'| \le |z| + |z'|.\)

Giải

a) Nếu \(z=a+bi\;(a,b\in\mathbb R)\) thì \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

\(\overrightarrow u \) biểu diễn số phức z thì \(\overrightarrow u  = \left( {a;b} \right)\) và \(|\overrightarrow u | = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) do đó \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|\).

Nếu \({A_1},{A_2}\) theo thứ tự biểu diễn các số phức \({z_1},{z_2}\) thì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = \overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {O{A_1}} \) biểu diễn \({z_2} - {z_1}\) nên \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|.\)

b) \(z=a+bi;\;z'=a'+b'i\) thì \(|z{|^2} = {a^2} + {b^2};|z'{|^2} = a{'^2} + b{'^2}\) và \(z.z' = (aa' - bb') + (ab' + a'b)i\) nên 

\(\eqalign{
& |z.z'{|^2} = {(aa' - bb')^2} + {(ab' + a'b)^2} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {(aa')^2} + {(bb')^2} + {(ab')^2} + {(a'b)^2} \cr 
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ({a^2} + {b^2})(a{'^2} + b{'^2}) = |z{|^2}.|z'{|^2} \cr 
& \Rightarrow |zz'| = |z|.|z'| \cr} \)

Khi \(z \ne 0\) ta có:

\(\left| {{{z'} \over z}} \right| = \left| {{{z'\overline z } \over {|z{|^2}}}} \right| = {1 \over {|z{|^2}}}|z'.\overline z | \)

\(= {1 \over {|z{|^2}}}.\left| {z'} \right|.\left| {\overline z } \right| = {1 \over {|z{|^2}}}.|z'|.|z| = {{|z'|} \over {|z|}}\)

c) Giả sử \(\overrightarrow u \) biểu diễn z và \(\overrightarrow {u'} \) biểu diễn z' thì \(\overrightarrow u+\overrightarrow {u'} \) biểu diễn z+z'. Ta có:

\(\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z + z'} \right|;\,\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| z \right|;\,\left| {\overrightarrow {u'} } \right| = \left| {z'} \right|\)

Mà \(\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right|\) nên \(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)

Dấu "=" xảy ra khi \(z=0\) hoặc \(z'=0\).

Bài 9 trang 190 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

 Xác định tập hợp câc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) \(\left| {z - i} \right| = 1\)                     b) \(\left| {{{z - i} \over {z + i}}} \right| = 1\)                     

c) \(\left| z \right| = \left| {\overline z  - 3 + 4i} \right|\)

Giải

a) Giả sử  khi đó \(z - i = x + \left( {y - 1} \right)i\) và \(\left| {z - i} \right| = 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm \(I\left( {0,1} \right)\) bán kính \(1\).

b) Giả sử

Ta có:\(\left| {{{z - i} \over {z + i}}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z - i} \right| = \left| {z + i} \right| \)

\(\Leftrightarrow \left| {x + \left( {y - 1} \right)i} \right| = \left| {x + \left( {y + 1} \right)i} \right|\)

                         \( \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \Leftrightarrow y = 0 \Leftrightarrow \) z là số thực.

Tập hợp M là trục thực \(Ox\).

c)

\(\left| z \right| = \left| {\overline z  - 3 + 4i} \right| \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {x - yi - 3 + 4i} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {x + yi} \right| = \left| {\left( {x - 3} \right) + \left( {4 - y} \right)i} \right| \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 6x + 8y = 25\)

Tập hợp M là đường thẳng có phương trình: \(6x + 8y = 25\)

Giaibaitap.me