Bài 20 trang 196 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng \(4 – i\) và tích của chúng bằng \(5(1 – i)\)

c) Có phải mọi phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + C = 0\) (\(B, C\) là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số \(B, C\) là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

Giải

a) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(A{z^2} + Bz + C = 0\) là

                  \(z = {{ - B \pm \delta } \over {2A}}\left( {{\delta ^2} = {B^2} - 4AC} \right)\)

Do đó \({z_1} + {z_2} =  - {B \over A}\);\({z_1}.{z_2} = {{\left( { - B - \delta } \right)\left( { - B + \delta } \right)} \over {2A.2A}} = {{{B^2} - {\delta ^2}} \over {4{A^2}}} = {{4AC} \over {4{A^2}}} = {C \over A}\)

Vậy công thức Viét vẫn còn đúng.

b) Giả sử \({z_1} + {z_2} = \alpha \); \({z_1}{z_2} = \beta \)

\({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phương trình:

\(\left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow {z^2} - \left( {{z_1} + {z_2}} \right)z + {z_1}{z_2} = 0 \)

\(\Leftrightarrow {z^2} - \alpha z + \beta  = 0\)

Theo đề bài \({z_1} + {z_2} = 4 - i\); \({z_1}{z_2} = 5\left( {1 - i} \right)\,\,\)

nên \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm phương trình

\({z^2} - \left( {4 - i} \right)z + 5\left( {1 - i} \right) = 0\) (*)

\(\Delta  = {\left( {4 - i} \right)^2} - 20\left( {1 - i} \right) = 16 - 1 - 8i - 20 + 20i \)

\(=  - 5 + 12i\)

Giả sử \({\left( {x + yi} \right)^2} =  - 5 + 12i \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} - {y^2} =  - 5 \hfill \cr  2xy = 12 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} - {{36} \over {{x^2}}} =  - 5 \hfill \cr  y = {6 \over x} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^4} + 5{x^2} - 36 = 0 \hfill \cr  y = {6 \over x} \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 2 \hfill \cr  y = 3 \hfill \cr}  \right.\,\text{ hoặc }\left\{ \matrix{  x =  - 2 \hfill \cr  y =  - 3 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \(\Delta\) có hai căn bậc hai là \( \pm \left( {2 + 3i} \right)\).

Phương trình bậc hai (*) có hai nghiệm:

\({z_1} = {1 \over 2}\left[ {4 - i + \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 3 + i\)

\({z_2} = {1 \over 2}\left[ {4 - i - \left( {2 + 3i} \right)} \right] = 1 - 2i\)

c) Nếu phương trình \({z^2} + Bz + C = 0\) có hai nghiệm \({z_1},{z_2}\) là hai số phức liên hợp, \({z_2} = \overline {{z_1}} \), thì theo công thức Vi-ét,\(B =  - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) =  - \left( {{z_1} + \overline {{z_1}} } \right)\) là số thực, \(C = {z_1}{z_2} = {z_1}\overline {{z_1}} \) là số thực.

Điều ngược lại không đúng vì nếu \(B, C\) thực thì \(\Delta  = {B^2} - 4AC > 0\) hai nghiệm là số thực phân biệt, chúng không phải là liên hợp với nhau. ( Khi \(\Delta  \le 0\) thì phương trình mới có hai nghiệm là hai số phức liên hợp).

Bài 21 trang 197 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

a) Giải phương trình: \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0\)

b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai \({z^2} + Bz + 3i = 0\) có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

Giải

a) Nhận xét:\( - 2i = {\left( {1 - i} \right)^2} \Rightarrow  - i = {\left( {{{1 - i} \over {\sqrt 2 }}} \right)^2}\)

Suy ra \(–i\) có căn bậc hai \( \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\)

Ta có \(\left( {{z^2} + i} \right)\left( {{z^2} - 2iz - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {z^2} + i = 0 \hfill \cr  {z^2} - 2iz - 1 = 0 \hfill \cr}  \right.\)

* \({z^2} + i = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - i \Leftrightarrow z =  \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)\)

* \({z^2} - 2iz - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow z = i\)

Vậy \(S = \left\{ {i;{{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right); - {{\sqrt 2 } \over 2}\left( {1 - i} \right)} \right\}\)

b) Gọi \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình

Theo giả thiết tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 nên ta có: \({z_1}^2 + {z_2}^2 = 8\)

Theo định lí Vi-et ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{z_1} + {z_2} = - B \hfill \cr 
{z_1}.{z_2} = 3i \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& {z_1}^2 + {z_2}^2 = 8 \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}.{z_2} = 8 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( { - B} \right)^2} - 2.3i = 8 \cr 
& \Leftrightarrow {B^2} = 8 + 6i \cr 
& \Leftrightarrow {B^2} = 9 + 2.3.i + {i^2} \cr 
& \Leftrightarrow {B^2} = {\left( {3 + i} \right)^2} \cr 
& \Leftrightarrow B = \pm \left( {3 + i} \right) \cr} \)

Bài 22 trang 197 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của \(-1\) là \(\sqrt { - 1} \) và tính \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} \) như sau:

a) Theo định nghĩa căn bậc hai của \(-1\) thì  \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} = - 1\) .

b) Theo tính chất của căn bậc hai ( tính của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó ) thì \(\sqrt { - 1} .\sqrt { - 1}  = \sqrt {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)}  = \sqrt 1  = 1\)

Từ đó, học sinh đó suy ra \(-1 = 1\)

Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.

Giải

Lập luận a) là đúng

Lập luận b) sai ở chỗ; nếu z₁ là một căn bậc hai của w₁, z₂ là một căn bậc hai của w₂ thì \({z_1}{z_2}\) là một trong hai căn bậc hai của \({{\rm{w}}_1}{{\rm{w}}_2}\); vậy ở đây \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} \) chỉ là một căn bậc hai của \(\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right) = 1\) (để ý rằng có hai căn bậc hai của 1 là 1 và -1), các kí hiệu \(\sqrt {\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right)} \) và \(\sqrt 1 \) chưa xác định.

Giaibaitap.me