Bài 34 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho số phức ${\rm{w}} =  - {1 \over 2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)$. Tìm các số nguyên dương n để ${{\rm{w}}^n}$ là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để ${{\rm{w}}^m}$ là số ảo?

Giải

Ta có: $\rm{w}  =  - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i = \cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}$

Suy ra ${\rm{w}^n} = \cos {{4\pi n} \over 3} + i\sin {{4\pi n} \over 3}$

${\omega ^n}$ là số thực $\Leftrightarrow \sin {{4n\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4n\pi } \over 3} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)$

$\Leftrightarrow 4n = 3k \Leftrightarrow n$ chia hết cho 3 (n nguyên dương)

${\rm{w} ^m}$ (m nguyên dương) là số ảo $\Leftrightarrow \cos {{4m\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4m\pi } \over 3} = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)$

$\Leftrightarrow 8m = 6k + 3$ (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).

Vậy không có số nguyên dương m để  ${\rm{w} ^m}$ là số ảo.

Bài 35 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:

a) $\left| z \right| = 3$ và một acgumen của iz là ${{5\pi } \over 4};$

b) $\left| z \right| = {1 \over 3}$ và một acgumen của ${{\overline z } \over {1 + i}}$ là $- {{3\pi } \over 4}.$

Giải

a) Ta có $i = \cos {\pi  \over 2} + i\sin {\pi  \over 2}$ nên acgumen của i là ${\pi  \over 2}$. Một acgumen của $z = {{iz} \over i}$ là ${{5\pi } \over 4} - {\pi  \over 2} = {{3\pi } \over 4}$

Vậy $z = 3\left( {\cos {{3\pi } \over 4} + i\sin {{3\pi } \over 4}} \right)$, từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là $\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)$ và $-\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)$

$=\sqrt 3 \left( {\cos {{11\pi } \over 8} + i\sin {{11\pi } \over 8}} \right)$.

b) Gọi $\varphi$ là acgumen của z là -$\varphi$ là một acgumen của $\overline z$

$1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)$ có một acgumen là ${\pi  \over 4}$ nên một acgumen của ${{\overline z } \over {1 + i}}$ là $- \varphi  - {\pi  \over 4}$. Theo đề bài ta có:

$- \varphi  - {\pi  \over 4} =- {{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)$

$\Rightarrow \varphi  = {\pi  \over 2} + k2\pi \,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)$

Vậy $z = {1 \over 3}\left( {\cos {\pi  \over 2} + i\sin {\pi  \over 2}} \right)$ 

Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là:

${1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)$ và $- {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {{5\pi } \over 4} + i\sin {{5\pi } \over 4}} \right)$

Bài 36 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Viết dạng lượng giác của các số phức sau:

a) $1 - i\tan {\pi  \over 5}$                               

$b)\,\tan {{5\pi } \over 8} + i;$

$c){\mkern 1mu} 1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi {\mkern 1mu} \left( {\varphi  \in\mathbb R,{\mkern 1mu} \varphi  \ne k2\pi ,{\mkern 1mu} k \in\mathbb Z} \right){\rm{ }}$

Giải

$a)\,1 - i\tan {\pi  \over 5} = 1 - i{{\sin {\pi  \over 5}} \over {\cos {\pi  \over 5}}}$

$= {1 \over {\cos {\pi  \over 5}}}\left( {\cos {\pi  \over 5} - i\sin {\pi  \over 5}} \right)$

$= {1 \over {\cos {\pi  \over 5}}}\left[ {\cos \left( { - {\pi  \over 5}} \right) + i\sin \left( { - {\pi  \over 5}} \right)} \right]$

$b)\,\tan {{5\pi } \over 8} + i = {{ - 1} \over {\cos {{5\pi } \over 8}}}\left( { - \sin {{5\pi } \over 8} - i\cos {{5\pi } \over 8}} \right)$(để ý rằng $\cos {{5\pi } \over 8} < 0$)

 $= {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( -{\cos {\pi  \over 8} + i\sin {\pi  \over 8}} \right)$

$= {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( {\cos {{7\pi } \over 8} + i\sin {{7\pi } \over 8}} \right)$

$c)\,\,1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  = 2\sin^2 {\varphi  \over 2} - 2i\sin {\varphi  \over 2}\cos {\varphi  \over 2}$

$= 2\sin {\varphi  \over 2}\left[ {\sin {\varphi  \over 2} - i\cos {\varphi  \over 2}} \right]$

Khi $\sin {\varphi  \over 2} > 0$ thì

$\,1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi$

$= \left( {2\sin {\varphi  \over 2}} \right)\left[ {\cos \left( {{\varphi  \over 2} - {\pi  \over 2}} \right) +i\sin\left( {{\varphi  \over 2} - {\pi  \over 2}} \right)} \right]$ là dạng lượng giác cần tìm.

Khi $\sin {\varphi  \over 2} < 0$ thì

$\,1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi$

$= \left( { - 2\sin {\varphi  \over 2}} \right)\left[ {\cos \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 2}} \right)} \right]$ là dạng lượng giác cần tìm.

Còn khi $\sin {\varphi  \over 2} = 0$ thì $\,\,1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  = 0 = 0\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right)\,\,(\alpha  \in\mathbb R$tùy ý).

Giaibaitap.me