Bài 34 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Cho số phức \({\rm{w}} =  - {1 \over 2}\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\). Tìm các số nguyên dương n để \({{\rm{w}}^n}\) là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để \({{\rm{w}}^m}\) là số ảo?

Giải

Ta có: \(\rm{w}  =  - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i = \cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}\)

Suy ra \({\rm{w}^n} = \cos {{4\pi n} \over 3} + i\sin {{4\pi n} \over 3}\)

\({\omega ^n}\) là số thực \( \Leftrightarrow \sin {{4n\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4n\pi } \over 3} = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4n = 3k \Leftrightarrow n\) chia hết cho 3 (n nguyên dương)

\({\rm{w} ^m}\) (m nguyên dương) là số ảo \( \Leftrightarrow \cos {{4m\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4m\pi } \over 3} = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)

\( \Leftrightarrow 8m = 6k + 3\) (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).

Vậy không có số nguyên dương m để  \({\rm{w} ^m}\) là số ảo.

Bài 35 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:

a) \(\left| z \right| = 3\) và một acgumen của iz là \({{5\pi } \over 4};\)

b) \(\left| z \right| = {1 \over 3}\) và một acgumen của \({{\overline z } \over {1 + i}}\) là \( - {{3\pi } \over 4}.\)

Giải

a) Ta có \(i = \cos {\pi  \over 2} + i\sin {\pi  \over 2}\) nên acgumen của i là \({\pi  \over 2}\). Một acgumen của \(z = {{iz} \over i}\) là \({{5\pi } \over 4} - {\pi  \over 2} = {{3\pi } \over 4}\)

Vậy \(z = 3\left( {\cos {{3\pi } \over 4} + i\sin {{3\pi } \over 4}} \right)\), từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là \(\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)\) và \(-\sqrt 3 \left( {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right)\)

\(=\sqrt 3 \left( {\cos {{11\pi } \over 8} + i\sin {{11\pi } \over 8}} \right)\).

b) Gọi \(\varphi \) là acgumen của z là -\(\varphi \) là một acgumen của \(\overline z \)

\(1 + i = \sqrt 2 \left( {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right) = \sqrt 2 \left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\) có một acgumen là \({\pi  \over 4}\) nên một acgumen của \({{\overline z } \over {1 + i}}\) là \( - \varphi  - {\pi  \over 4}\). Theo đề bài ta có:

\( - \varphi  - {\pi  \over 4} =- {{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right) \)

\(\Rightarrow \varphi  = {\pi  \over 2} + k2\pi \,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)

Vậy \(z = {1 \over 3}\left( {\cos {\pi  \over 2} + i\sin {\pi  \over 2}} \right)\) 

Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là:

\({1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right)\) và \( - {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {\pi  \over 4} + i\sin {\pi  \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 3 }}\left( {\cos {{5\pi } \over 4} + i\sin {{5\pi } \over 4}} \right)\)

Bài 36 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao

Viết dạng lượng giác của các số phức sau:

a) \(1 - i\tan {\pi  \over 5}\)                               

\(b)\,\tan {{5\pi } \over 8} + i;\)

\(c){\mkern 1mu} 1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi {\mkern 1mu} \left( {\varphi  \in\mathbb R,{\mkern 1mu} \varphi  \ne k2\pi ,{\mkern 1mu} k \in\mathbb Z} \right){\rm{ }}\)

Giải

\(a)\,1 - i\tan {\pi  \over 5} = 1 - i{{\sin {\pi  \over 5}} \over {\cos {\pi  \over 5}}} \)

\(= {1 \over {\cos {\pi  \over 5}}}\left( {\cos {\pi  \over 5} - i\sin {\pi  \over 5}} \right) \)

\(= {1 \over {\cos {\pi  \over 5}}}\left[ {\cos \left( { - {\pi  \over 5}} \right) + i\sin \left( { - {\pi  \over 5}} \right)} \right]\)

\(b)\,\tan {{5\pi } \over 8} + i = {{ - 1} \over {\cos {{5\pi } \over 8}}}\left( { - \sin {{5\pi } \over 8} - i\cos {{5\pi } \over 8}} \right)\)(để ý rằng \(\cos {{5\pi } \over 8} < 0\))

 \( = {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( -{\cos {\pi  \over 8} + i\sin {\pi  \over 8}} \right) \)

\(= {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left( {\cos {{7\pi } \over 8} + i\sin {{7\pi } \over 8}} \right)\)

\(c)\,\,1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  = 2\sin^2 {\varphi  \over 2} - 2i\sin {\varphi  \over 2}\cos {\varphi  \over 2}\)

\(= 2\sin {\varphi  \over 2}\left[ {\sin {\varphi  \over 2} - i\cos {\varphi  \over 2}} \right]\)

Khi \(\sin {\varphi  \over 2} > 0\) thì

\(\,1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi \)

\(= \left( {2\sin {\varphi  \over 2}} \right)\left[ {\cos \left( {{\varphi  \over 2} - {\pi  \over 2}} \right) +i\sin\left( {{\varphi  \over 2} - {\pi  \over 2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm.

Khi \(\sin {\varphi  \over 2} < 0\) thì

\(\,1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  \)

\(= \left( { - 2\sin {\varphi  \over 2}} \right)\left[ {\cos \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 2}} \right) + i\sin \left( {{\varphi  \over 2} + {\pi  \over 2}} \right)} \right]\) là dạng lượng giác cần tìm.

Còn khi \(\sin {\varphi  \over 2} = 0\) thì \(\,\,1 - \cos \varphi  - i\sin \varphi  = 0 = 0\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right)\,\,(\alpha  \in\mathbb R\)tùy ý).

Giaibaitap.me