Bài 34 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao
Cho số phức w=−12(1+i√3). Tìm các số nguyên dương n để wn là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để wm là số ảo?
Giải
Ta có: w=−12−√32i=cos4π3+isin4π3
Suy ra wn=cos4πn3+isin4πn3
ωn là số thực ⇔sin4nπ3=0⇔4nπ3=kπ(k∈Z)
⇔4n=3k⇔n chia hết cho 3 (n nguyên dương)
wm (m nguyên dương) là số ảo ⇔cos4mπ3=0⇔4mπ3=π2+kπ(k∈Z)
⇔8m=6k+3 (vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ).
Vậy không có số nguyên dương m để wm là số ảo.
Bài 35 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao
Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:
a) |z|=3 và một acgumen của iz là 5π4;
b) |z|=13 và một acgumen của ¯z1+i là −3π4.
Giải
a) Ta có i=cosπ2+isinπ2 nên acgumen của i là π2. Một acgumen của z=izi là 5π4−π2=3π4
Vậy z=3(cos3π4+isin3π4), từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là √3(cos3π8+isin3π8) và −√3(cos3π8+isin3π8)
=√3(cos11π8+isin11π8).
b) Gọi φ là acgumen của z là -φ là một acgumen của ¯z
1+i=√2(1√2+1√2i)=√2(cosπ4+isinπ4) có một acgumen là π4 nên một acgumen của ¯z1+i là −φ−π4. Theo đề bài ta có:
−φ−π4=−3π4+k2π(k∈Z)
⇒φ=π2+k2π(k∈Z)
Vậy z=13(cosπ2+isinπ2)
Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là:
1√3(cosπ4+isinπ4) và −1√3(cosπ4+isinπ4)=1√3(cos5π4+isin5π4)
Bài 36 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao
Viết dạng lượng giác của các số phức sau:
a) 1−itanπ5
b)tan5π8+i;
c)1−cosφ−isinφ(φ∈R,φ≠k2π,k∈Z)
Giải
a)1−itanπ5=1−isinπ5cosπ5
=1cosπ5(cosπ5−isinπ5)
=1cosπ5[cos(−π5)+isin(−π5)]
b)tan5π8+i=−1cos5π8(−sin5π8−icos5π8)(để ý rằng cos5π8<0)
=1cos3π8(−cosπ8+isinπ8)
=1cos3π8(cos7π8+isin7π8)
c)1−cosφ−isinφ=2sin2φ2−2isinφ2cosφ2
=2sinφ2[sinφ2−icosφ2]
Khi sinφ2>0 thì
1−cosφ−isinφ
=(2sinφ2)[cos(φ2−π2)+isin(φ2−π2)] là dạng lượng giác cần tìm.
Khi sinφ2<0 thì
1−cosφ−isinφ
=(−2sinφ2)[cos(φ2+π2)+isin(φ2+π2)] là dạng lượng giác cần tìm.
Còn khi sinφ2=0 thì 1−cosφ−isinφ=0=0(cosα+isinα)(α∈Rtùy ý).
Giaibaitap.me
Giải bài tập trang 208, 209 ôn tập chương IV - Số phức SGK Giải tích 12 Nâng cao. Câu 37: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:...
Giải bài tập trang 209 ôn tập chương IV - Số phức SGK Giải tích 12 Nâng cao. Câu 40: Xét các số phức...
Giải bài tập trang 210, 211 ôn tập chương IV- Số phức SGK Giải tích 12 Nâng cao. Câu 43: Phần thực của...
Giải bài tập trang 7 bài 1 khái niệm về khối đa diện SGK Hình học 12 Nâng cao. Câu 1: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thì số mặt phải là số chẵn. Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt bằng 4, 6, 8, 10.