Bài 37 trang 208 SGK giải tích 12 nâng cao

Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau:

\(a)\,{\left( {2 - 3i} \right)^3}\,;\)                               

\(b)\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} + {{1 - i} \over {3 - 2i}}\,;\)                 

\(c)\,{\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5\,\,\left( {x,y \in\mathbb R} \right).\)

Với x,y nào thì số phức đó là số thực?

Giải

\(a)\,{\left( {2 - 3i} \right)^3} = {2^3} - 3.2.3i\left( {2 - 3i} \right) - {\left( {3i} \right)^3} \)

\(= 8 - 18i\left( {2 - 3i} \right) + 27i =  - 46 - 9i\)

Vậy phần thực là \(-46\), phần ảo là \(-9\).

\(\eqalign{  & b)\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} = {{\left( {3 + 2i} \right)\left( {1 + i} \right)} \over 2} = {{1 + 5i} \over 2} = {1 \over 2} + {5 \over 2}i  \cr  & {{1 - i} \over {3 - 2i}} = {{\left( {1 - i} \right)\left( {3 + 2i} \right)} \over {13}} = {{5 - i} \over {13}} = {5 \over {13}} - {1 \over {13}}i \cr} \)

Do đó \(\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} + {{1 - i} \over {3 - 2i}}\, ={1 \over 2} + {5 \over 2}i +{5 \over {13}} - {1 \over {13}}i = {{23} \over {26}} + {{63} \over {26}}i\)

Vậy phần thực là \({{23} \over {26}}\), phần ảo là \({{63} \over {26}}\)

\(c)\,\,{\left( {x + iy} \right)^2} - 2\left( {x + iy} \right) + 5 \)

\(= {x^2} - {y^2} - 2x + 5 + 2y\left( {x - 1} \right)i\)

Vậy phần thực là \({x^2} - {y^2} - 2x + 5\), phần ảo là \(2y\left( {x - 1} \right)\).

Số phức đó là số thực khi vào chỉ khi \(2y\left( {x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0\) hoặc \(x = 1\).

Bài 38 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

Chứng minh rằng \(\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1\) thì số \({{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\) là số thực (giả sử \(1 + z{\rm{w}} \ne 0\)).

Giải

Ta có \(z.\overline z  = {\left| z \right|^2} = 1 \Rightarrow \overline z  = {1 \over z}\). Tương tự \(\overline {\rm{w}}  = {1 \over {\rm{w}}}\)

Do đó \(\overline {\left( {{{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}} \right)}  = {{\overline z  + \overline {\rm{w}} } \over {1 + \overline z .\overline {\rm{w}} }} = {{{1 \over z} + {1 \over {\rm{w}}}} \over {1 + {1 \over z}.{1 \over {\rm{w}}}}} = {{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\).

Suy ra \({{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\) là số thực.

Bài 39 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao

Giải các phương trình sau trên C:

\(\eqalign{  & a)\,{\left( {z + 3 - i} \right)^2} - 6\left( {z + 3 - i} \right) + 13 = 0;  \cr  & b)\,\left( {{{iz + 3} \over {z - 2i}}} \right)^2 - 3{{iz + 3} \over {z - 2i}} - 4 = 0; \cr} \)

\(c)\,\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 0.\)

Giải

a) Đặt \({\rm{w}} = z + 3 - i\) ta được phương trình:

                        \(\eqalign{  & {{\rm{w}}^2} - 6{\rm{w}}+ 13 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{\rm{w}} - 3} \right)^2} =  - 4 = 4{i^2}  \cr  &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\rm{w}} = 3 + 2i \hfill \cr  {\rm{w}} = 3 - 2i \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{  z + 3 - i = 3 + 2i \hfill \cr  z + 3 - i = 3 - 2i \hfill \cr}  \right.\cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{  z = 3i \hfill \cr  z =  - i \hfill \cr}  \right. \cr} \)

Vậy \(S = \left\{ { - i;3i} \right\}\)

b) Đặt \({\rm{w}} = {{iz + 3} \over {z - 2i}}\) ta được phương trình: \({{\rm{w}}^2} - 3{\rm{w}} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {\rm{w}} =  - 1 \hfill \cr {\rm{w}} = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Với \({\rm{w}} = -1\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} =  - 1 \Leftrightarrow iz + 3 =  - z + 2i\)

\( \Leftrightarrow \left( {i + 1} \right)z =  - 3 + 2i\)

\(\Leftrightarrow z = {{ - 3 + 2i} \over {1 + i}} = {{\left( { - 3 + 2i} \right)\left( {1 - i} \right)} \over 2} = {{ - 1 + 5i} \over 2}\)

Với \({\rm{w}} = 4\) ta có \({{iz + 3} \over {z - 2i}} = 4 \Leftrightarrow \left( {4 - i} \right)z = 3 + 8i\)

                                    \( \Leftrightarrow z = {{3 + 8i} \over {4 - i}} = {{\left( {3 + 8i} \right)\left( {4 + i} \right)} \over {17}} = {{4 + 35i} \over {17}}\)

Vậy \(S = \left\{ {{{ - 1 + 5i} \over 2};{{4 + 35} \over {17}}} \right\}\)

\(c)\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {\left( {{z^2} + 1} \right)^2} - {\left[ {i\left( {z + 3} \right)} \right]^2}\)

\( = \left( {{z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right)} \right)\left( {{z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right)} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow\left[ \matrix{  {z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr  {z^2} + 1 - i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr}  \right.\)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai \({z^2} + iz + 1 + 3i = 0\);

\(\Delta  =  - 5 - 12i = {\left( {2 - 3i} \right)^2}\) 

Phương trình có hai nghiệm là \({z_1} = 1 - 2i\) và \({z_2} =  - 1 + i\).

Phương trình (2) là phương trình bậc hai \({z^2} - iz + 1 - 3i = 0\);

\(\Delta  =  - 5 + 12i = {\left( {2 + 3i} \right)^2}\) 

Phương trình có hai nghiệm là \({z_3} = 1 + 2i\) và \({z_4} =  - 1 - i\)

Vậy \(S = \left\{ {1 - 2i; - 1 + i;1 + 2i; - 1 - i} \right\}\)

Giaibaitap.me