Bài 1 Trang 141 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :

a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} + {x \over 2};\)             

b) \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 5x + 7;\)

c) \(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}} - {x^2} - {1 \over 3};\)

d) \(f\left( x \right) = {x^{ - {1 \over 3}}};\)

e) \(f\left( x \right) = {10^{2x}}.\)

Giải

Áp dụng công thức : \(\int {{x^\alpha }} dx = {{{x^{\alpha  + 1}}} \over {\alpha  + 1}} + C\left( {\alpha  \ne  - 1} \right)\)

a) \(\int {\left( {3{x^2} + {x \over 2}} \right)} dx\)

\(= 3\int {{x^2}dx + {1 \over 2}\int {xdx = {x^3} + {{{x^2}} \over 4} + C} } \)

b) \(\int {\left( {2{x^3} - 5x + 7} \right)} dx \)

\(= 2\int {{x^3}dx - 5\int {xdx + 7\int {dx} } }\)

\(= {{{x^4}} \over 2} - {{5{x^2}} \over 2} + 7x + C\)

c) \(\int {\left( {{1 \over {{x^2}}} - {x^2} - {1 \over 3}} \right)} dx \)

\(= \int {{x^{ - 2}}dx - \int {{x^2}dx - {1 \over 3}} } \int {dx =  - {1 \over x}}  - {{{x^3}} \over 3} - {x \over 3} + C\)

d) \(\int {{x^{ - {1 \over 3}}}dx = {{{x^{{2 \over 3}}}} \over {{2 \over 3}}}}  + C = {3 \over 2}{x^{{2 \over 3}}} + C\)

Bài 2 Trang 141 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm

a) \(\int {\left( {\sqrt x  + \root 3 \of x } \right)dx;} \)          b) \(\int {{{x\sqrt x  + \sqrt x } \over {{x^2}}}} dx;\)
c) \(\int {4{{\sin }^2}xdx;} \)                          d) \(\int {{{1 + \cos 4x} \over 2}dx.} \)

Giải

a) \(\int {\left( {\sqrt x  + \root 3 \of x } \right)dx = \int {\left( {{x^{{1 \over 2}}} + {x^{{1 \over 3}}}} \right)dx}}\)

\(= {{{x^{{3 \over 2}}}} \over {{3 \over 2}}} + {{{x^{{4 \over 3}}}} \over {{4 \over 3}}} + C = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + {3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} + C\)

b) 

\(\eqalign{
& \int {{{x\sqrt x + \sqrt x } \over {{x^2}}}} dx = \int {{1 \over {\sqrt x }}} dx + \int {{{dx} \over {x\sqrt x }}} \cr&= \int {{x^{ - {1 \over 2}}}} dx + \int {{x^{ - {3 \over 2}}}} dx \cr
& = {{{x^{{1 \over 2}}}} \over {{1 \over 2}}}\, + {{{x^{ - {1 \over 2}}}} \over {{-1 \over 2}}}\, + C = 2\sqrt x - {2 \over {\sqrt x }} + C \cr} \)

c) \(\int {4{{\sin }^2}xdx = \int {2\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} }\)

\(= 2\int {dx - 2\int {\cos 2xdx} } = 2x - \sin 2x + C\)

d) \(\int {{{1 + \cos 4x} \over 2}dx = {x \over 2}}  + {1 \over 8}\sin 4x + C\)

Bài 3 Trang 141 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :

Nguyên hàm của hàm số \(y=x\sin x\) là
\(\left( A \right)\,{x^2}\sin {x \over 2} + C;\)

\(\left( B \right) - x\cos x + C;\)

\(\left( C \right)\, - x\cos x + \sin x + C.\)

Giải

Ta có \(\left( { - x\cos x + \sin x + C} \right)' \)

\(=  - \cos x + x\sin x + \cos x = x\sin x.\) chọn (C).

Bài 4 Trang 141 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Khẳng định sau đúng hay sai : Nếu \(f\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt x } \right)'\) thì \(\int {f\left( x \right)dx =  - \sqrt x }  + C?\)

Giải

Đúng vì \( - \sqrt x \) là một nguyên hàm của \(f(x)\).

Giaibaitap.me