Bài 8 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right);\)                         

b) \(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{1 \over x}\cos {1 \over x};\) 

c) \(f\left( x \right) = {x^3}{e^x};\)                                     

d) \(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {3x - 9} }}.\)

Giải

a) Đặt \(u = {{{x^3}} \over {18}} - 1 \Rightarrow du = {1 \over 6}{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = 6du\)   

Do đó \(\int {{x^2}{{\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)}^5}dx = \int {6{u^5}du = {u^6}} }  + C \)

\(= {\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)^6} + C\) 

b) Đăt \(u = \sin {1 \over x} \Rightarrow du =  - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over 2}dx \)

\(\Rightarrow {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx =  - du\) 

\( \Rightarrow \int {{1 \over {{x^2}}}\sin {1 \over x}\cos {1 \over x}dx =  - \int {udu =  - {{{u^2}} \over 2} + C} } \)

\(=  - {1 \over 2}{{\sin }^2}\left( {{1 \over x}} \right) + C \) 

c) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x^3} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 3{x^2}dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow I = \int {{x^3}{e^x}dx = {x^3}{e^x} - 3\int {{x^2}{e^x}dx\,\,\left( 1 \right)} } \) 

Tính \({I_1} = \int {{x^2}} {e^x}dx\)

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow {I_1} = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx\,\,\,\,\left( 2 \right)} \) 

Tính \({I_2} = \int {x{e^x}dx} \)

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \)

\(\Rightarrow {I_2} = x{e^x} - \int {{e^x}dx = {e^x}\left( {x - 1} \right) + C} \)

Thay \({I_2}\) vào (2) ta được: \({I_1} = {x^2}{e^x} - 2{e^x}\left( {x - 1} \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + C\)

Thay \({I_1}\) vào (1) ta được : \(I = {x^3}{e^x} - 3{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\)

\(= {e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right) + C\)

d) Đặt \(u = \sqrt {3x - 9}  \Rightarrow {u^2} = 3x - 9 \Rightarrow 2udu = 3dx \)

\(\Rightarrow dx = {{2udu} \over 3}\)

Do đó \(\int {{e^{\sqrt {3x - 9} }}dx = {2 \over 3}\int {u{e^u}du = {2 \over 3}{e^u}\left( {u - 1} \right) + C} } \) (bài 6c)

\( = {2 \over 3}{e^{\sqrt {3x - 9} }}\left( {\sqrt {3x - 9}  - 1} \right) + C\)                                               

Bài 9 Trang 146 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^2}\cos 2x;\)             \(b)\,f\left( x \right) = \sqrt x \ln x;\)                                                       

c) \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x\cos x;\)            d) \(f\left( x \right) = x\cos \left( {{x^2}} \right);\)

Giải

a) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\) 

Do đó \(\int {{x^2}\cos 2xdx = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x}  - \int {x\sin 2xdx\,\,\,\left( 1 \right)} \) 

Tính \(\int {x\sin 2xdx} \) 

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - {1 \over 2}\cos 2x \hfill \cr} \right.\)

 \( \Rightarrow \int {x\sin 2xdx =  - {1 \over 2}x\cos 2x + {1 \over 2}\int {\cos 2xdx}} \)

\(=  - {1 \over 2}x\cos 2x - {1 \over 4}\sin 2x + C \)

Thay vào (1) ta được \(\int {{x^2}\cos 2xdx = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x + {1 \over 2}x\cos 2x} \)

\(+ {1 \over 4}\sin 2x + C\) 

b) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = \sqrt x dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr
v = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow \int {\sqrt x } \ln xdx = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x - {2 \over 3}\int {{x^{{1 \over 2}}}dx} \) 

\( = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x - {2 \over 3}.{2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + C \)

\(= {2 \over 3}\sqrt {{x^3}} \ln x - {4 \over 9}\sqrt {{x^3}}  + C\)                         

c) Đặt \(u = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow du = \cos xdx\)

\( \Rightarrow \int {{{\sin }^4}x\cos xdx = } \int {{u^4}du = {{{u^5}} \over 5} + C}\)

\(= {1 \over 5}{{\sin }^5}x  + C.\) 

d) Đặt \(u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = {1 \over 2}du\)

\( \Rightarrow \int {x\cos \left( {{x^2}} \right)dx = {1 \over 2}\int {\cos udu = {1 \over 2}\sin u + C} } \)

\(= {1 \over 2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{x}}^2} + C. \) 

Giaibaitap.me