Bài 8 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = {x^2}\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right);$                         

b) $f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{1 \over x}\cos {1 \over x};$ 

c) $f\left( x \right) = {x^3}{e^x};$                                     

d) $f\left( x \right) = {e^{\sqrt {3x - 9} }}.$

Giải

a) Đặt $u = {{{x^3}} \over {18}} - 1 \Rightarrow du = {1 \over 6}{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = 6du$   

Do đó $\int {{x^2}{{\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)}^5}dx = \int {6{u^5}du = {u^6}} }  + C$

$= {\left( {{{{x^3}} \over {18}} - 1} \right)^6} + C$ 

b) Đăt $u = \sin {1 \over x} \Rightarrow du =  - {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over 2}dx$

$\Rightarrow {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx =  - du$ 

$\Rightarrow \int {{1 \over {{x^2}}}\sin {1 \over x}\cos {1 \over x}dx =  - \int {udu =  - {{{u^2}} \over 2} + C} }$

$=  - {1 \over 2}{{\sin }^2}\left( {{1 \over x}} \right) + C$ 

c) Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {x^3} \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 3{x^2}dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow I = \int {{x^3}{e^x}dx = {x^3}{e^x} - 3\int {{x^2}{e^x}dx\,\,\left( 1 \right)} }$ 

Tính ${I_1} = \int {{x^2}} {e^x}dx$

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow {I_1} = {x^2}{e^x} - 2\int {x{e^x}dx\,\,\,\,\left( 2 \right)}$ 

Tính ${I_2} = \int {x{e^x}dx}$

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = {e^x} \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow {I_2} = x{e^x} - \int {{e^x}dx = {e^x}\left( {x - 1} \right) + C}$

Thay ${I_2}$ vào (2) ta được: ${I_1} = {x^2}{e^x} - 2{e^x}\left( {x - 1} \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right) + C$

Thay ${I_1}$ vào (1) ta được : $I = {x^3}{e^x} - 3{e^x}\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)$

$= {e^x}\left( {{x^3} - 3{x^2} + 6x - 6} \right) + C$

d) Đặt $u = \sqrt {3x - 9}  \Rightarrow {u^2} = 3x - 9 \Rightarrow 2udu = 3dx$

$\Rightarrow dx = {{2udu} \over 3}$

Do đó $\int {{e^{\sqrt {3x - 9} }}dx = {2 \over 3}\int {u{e^u}du = {2 \over 3}{e^u}\left( {u - 1} \right) + C} }$ (bài 6c)

$= {2 \over 3}{e^{\sqrt {3x - 9} }}\left( {\sqrt {3x - 9}  - 1} \right) + C$                                               

Bài 9 Trang 146 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = {x^2}\cos 2x;$             $b)\,f\left( x \right) = \sqrt x \ln x;$                                                       

c) $f\left( x \right) = {\sin ^4}x\cos x;$            d) $f\left( x \right) = x\cos \left( {{x^2}} \right);$

Giải

a) Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.$ 

Do đó $\int {{x^2}\cos 2xdx = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x}  - \int {x\sin 2xdx\,\,\,\left( 1 \right)}$ 

Tính $\int {x\sin 2xdx}$ 

Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr v = - {1 \over 2}\cos 2x \hfill \cr} \right.$

 $\Rightarrow \int {x\sin 2xdx =  - {1 \over 2}x\cos 2x + {1 \over 2}\int {\cos 2xdx}}$

$=  - {1 \over 2}x\cos 2x - {1 \over 4}\sin 2x + C$

Thay vào (1) ta được $\int {{x^2}\cos 2xdx = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x + {1 \over 2}x\cos 2x}$

$+ {1 \over 4}\sin 2x + C$ 

b) Đặt 

$\left\{ \matrix{ u = \ln x \hfill \cr dv = \sqrt x dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {{dx} \over x} \hfill \cr v = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow \int {\sqrt x } \ln xdx = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x - {2 \over 3}\int {{x^{{1 \over 2}}}dx}$ 

$= {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x - {2 \over 3}.{2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + C$

$= {2 \over 3}\sqrt {{x^3}} \ln x - {4 \over 9}\sqrt {{x^3}}  + C$                         

c) Đặt $u = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow du = \cos xdx$

$\Rightarrow \int {{{\sin }^4}x\cos xdx = } \int {{u^4}du = {{{u^5}} \over 5} + C}$

$= {1 \over 5}{{\sin }^5}x  + C.$ 

d) Đặt $u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = {1 \over 2}du$

$\Rightarrow \int {x\cos \left( {{x^2}} \right)dx = {1 \over 2}\int {\cos udu = {1 \over 2}\sin u + C} }$

$= {1 \over 2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{x}}^2} + C.$ 

Giaibaitap.me