Bài 5 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

\(a)\,f\left( x \right) = {{9{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}\)                   \(b)\,f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {5x + 4} }}\)

\(c)\,f\left( x \right) = x\root 4 \of {1 - {x^2}} \)             \(d)\,f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}\)

Giải

a) Đặt \(u = \sqrt {1 - {x^3}}  \Rightarrow {u^2} = 1 - {x^3}\)

\(\Rightarrow 2udu =  - 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx =  - {2 \over 3}udu\)
Ta có: \(\int {{{9{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}dx}  = \int {{{9.{-2 \over 3}udu} \over u}} \)

\(=  - 6\int {du =  - 6u + C =  - 6\sqrt {1 - {x^3}}  + C} \)
b) Đặt \(u = \sqrt {5x + 4}  \Rightarrow {u^2} = 5x + 4 \Rightarrow 2udu = 5dx \)

\(\Rightarrow dx = {{2u.du} \over 5}\)
Do đó: \(\int {{{dx} \over {\sqrt {5x + 4} }}}  = \int {{{2udu} \over {5u}} = {2 \over 5}u + C = {2 \over 5}\sqrt {5x + 4}  + C} \)
c) Đặt \(u = \root 4 \of {1 - {x^2}}  \Rightarrow {u^4} = 1 - {x^2} \)

\(\Rightarrow 4{u^3}du =  - 2xdx \Rightarrow xdx =  - 2{u^3}du\)
Do đó: \(\int {x\root 4 \of {1 - {x^2}} dx = \int { - 2{u^4}du}  = -{{2{u^5}} \over 5} + C }\)

\(=  - {2 \over 5}\root 4 \of {\left( {1 - {x^2}} \right)5\,}  + C \)
d) Đặt \(u = 1 + \sqrt x  \Rightarrow du = {{du} \over {2\sqrt x }} \Rightarrow {{dx} \over {\sqrt x }} = 2du\)

\(\,\,\, \Rightarrow \int {{{dx} \over {\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}}  = \int {{{2u} \over {{u^2}}}}  =  - {2 \over u} + C =  - {2 \over {1 + \sqrt x }} + C.\)

Bài 6 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Dùng phương pháp lấy số nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = x\sin x{x \over 2};\)        b) \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x;\)

\(c)\,f\left( x \right) = x{e^x};\)               \(d)\,f\left( x \right) = {x^3}\ln x\)

Giải

a) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \sin {x \over 2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = - 2\cos {x \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {x\sin x{x \over 2}dx}  =  - 2x\cos {x \over 2} + 2\int {\cos {x \over 2}dx }\)

\(=  - 2x\cos {x \over 2} + 4\sin {x \over 2} + C \)

b) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr 
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr 
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {{x^2}} \cos xdx = {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 2\int {x\sin xdx\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)} \)

Tính \(\int {x\sin xdx} \)

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)

 \( \Rightarrow \int {x\sin xdx =  - x\cos x + \int {\cos xdx}}\)

\(=  - x\cos x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} +  \,C\)                             

Thay vào (1) ta được: \(\int {{x^2}\cos xdx = {x^2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 2x\cos x - 2\sin x + C} \)

c) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {x{e^x}dx = x{e^x} - \int {{e^x}dx}  = x{e^x} - {e^x}}  + C\) 

d) Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr 
dv = {x^3}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {1 \over x}dx \hfill \cr 
v = {{{x^4}} \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int {{x^3}\ln xdx = {1 \over 4}{x^4}\ln x}  - {1 \over 4}\int {{x^3}dx}  \)

\(= {1 \over 4}x^4\ln x - {{{x^4}} \over {16}} + C\)

Bài 7 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 3x\sqrt {7 - 3{x^2}} ;\)           

\(b)\,f\left( x \right) = \cos \left( {3x + 4} \right);\)                

c) \(f\left( x \right) =  - {1 \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}};\)                     

d) \(f\left( x \right) = {\sin ^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}.\) 

Giải

a) Đặt \(u = \sqrt {7 - 3{x^2}}  \Rightarrow {u^2} = 7 - 3{x^2} \Rightarrow 2udu =  - 6xdx\)

\(\Rightarrow 3xdx =  - udu\)

Do đó \(\int {3x\sqrt {7 - 3{x^2}} dx =  - \int {{u^2}du =  - {{{u^3}} \over 3} + C}}  \)

\(=  - {1 \over 3}\sqrt {{{\left( {7 - 3{x^2}} \right)}^3}}  + C \) 

b) \(\int {\cos \left( {3x + 4} \right)dx = {1 \over 3}\sin \left( {3x + 4} \right) + C} \)      

c) \(\int {{{dx} \over {{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}} = {1 \over 3}\tan \left( {3x + 2} \right) + C} \)      

d) Đặt \(u = \sin {x \over 3} \Rightarrow du = {1 \over 3}\cos {x \over 3}dx \Rightarrow \cos {x \over 3}dx = 3du\) 

Do đó \(\int {{{\sin }^5}{x \over 3}\cos {x \over 3}dx = 3\int {{u^5}du = {{{u^6}} \over 2} + C } }\)

\(= {1 \over 2}{{\sin }^6}\left( {{x \over 3}} \right) + C. \)

Giaibaitap.me