Bài 10 Trang 152 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Không tìm nguyên hàm hãy tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {{x \over 2} + 3} \right)dx} ;\)             \(b)\,\int\limits_{ - 1}^2 {\left| x \right|} dx\)                 

c) \(\int\limits_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx\) 

Hướng dẫn: Áp dụng định lí 1.

Giải

a) Tích phân đó bằng diện tích hình thang ABCD với cạnh nghiêng là đường thẳng \(y = {x \over 2} + 3.\) Diện tích đó là \(\left( {2 + 5} \right){6 \over 2} = 21.\) vậy \(\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {{x \over 2} + 3} \right)dx = 21} .\) 

b)

Từ hình trên ta thấy hình A gồm 2 tam giác. Do đó tích phân bằng diện tích của A và là \({1 \over 2}.1.1 + {1 \over 2}2.2 = 0,5 + 2 = 2,5\) 

Vậy \(\int\limits_{ - 1}^2 {\left| x \right|} dx = {5 \over 2}\).

c) Tích phân bằng diện tích nửa đường tròn \({x^2} + {y^2} = 9\)(hình). Đây là đường tròn tâm là gốc tọa độ bán kính là 3. Do đó diện tích nửa dường tròn là \(9{\pi  \over 2} = 4,5\pi .\)

Vậy \(\int\limits_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx = 4,5\pi \)

Bài 11 Trang 152 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Cho biết \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx =  - 4,} \) \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx = 6,} \) \(\int\limits_1^5 {g\left( x \right)} dx = 8.\) hãy tính

a) \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} \)

b) \(\int\limits_1^2 {3f\left( x \right)} dx\)

c) \(\int\limits_1^5 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx\)

d) \(\int\limits_1^5 {\left[ {4f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx \)

Giải

a) \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)} \)

\(= \int\limits_2^1 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^5 {f\left( x \right)}dx\)

\(  =  - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^5 {f\left( x \right)} dx = 4 + 6 = 10\)     

b) \(\int\limits_1^2 {3f\left( x \right)} dx = 3\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}  = 3\left( { - 4} \right) =  - 12\)  

c) \(\int\limits_1^5 {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx \)

\(= \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_1^5 {g\left( x \right)} dx = 6 - 8 =  - 2\)     

d) \(\int\limits_1^5 {\left[ {4f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} dx \)

\(= 4\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx}  - \int\limits_1^5 {g\left( x \right)dx = 4.6 - 8 = 16.} \)     

Bài 12 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Cho biết \(\int\limits_0^3 {f\left( z \right)dz}  = 3,\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} dx = 7.\) Hãy tính \(\int\limits_3^4 {f\left( t \right)dt.} \) 

Giải

Ta có \(\int\limits_3^4 {f\left( t \right)dt = \int\limits_3^0 {f\left( t \right)} } dt + \int\limits_0^4 {f\left( t \right)} dt\)

\(=  - \int\limits_0^3 {f\left( t \right)} dt + \int\limits_0^4 {f\left( t \right)} dt =  - 3 + 7 = 4\)

Bài 13 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

a) Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.} \) 

b) Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) \ge g\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} .\) 

Giải

a) Ta có \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b,\) do đó \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge 0.} \)

b)  Đặt \(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \left[ {a;b} \right].\)

Theo a) ta có: \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]}  \ge 0 \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx - \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx}  \ge 0\)

\(\Rightarrow \int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx \ge \int\limits_a^b {g\left( x \right)} dx.\)

Giaibaitap.me