Bài 49 trang 49 SGK giải tích 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : \(y = {{x - 2} \over {2x + 1}}\)
b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

Giải

a) TXĐ: \(R\backslash \left\{ { - {1 \over 2}} \right\}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ + }} y =  - \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {1 \over 2}} \right)}^ - }} y =  + \infty \) nên đường thẳng \(x =  - {1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {1 \over 2}\) nên đường thẳng \(y = {1 \over 2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị.

\(y' = {{\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr
2\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} = {5 \over {{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne  - {1 \over 2}\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\)
Đồ thị : Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;-2)\) và cắt trục hoành tại điểm \((2;0)\).

b) Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị \(I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\)
Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {OI} \) là:

\(\left\{ \matrix{
x = X - {1 \over 2} \hfill \cr
y = Y + {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Phương trình của đồ thị \((C)\) đối với trục \(IXY\):

\(Y + {1 \over 2} = {{X - {1 \over 2} - 2} \over {2\left( {X - {1 \over 2}} \right) + 1}} \Leftrightarrow Y + {1 \over 2} = {{X - {5 \over 2}} \over {2X}} \)

\(\Leftrightarrow Y =  - {5 \over {4X}}\)

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhân I làm tâm đối xứng.

Bài 50 trang 49 SGK giải tích 12 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) \(y = {{x + 1} \over {x - 1}}\)                       b) \(y = {{2x + 1} \over {1 - 3x}}\)

Giải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  = 1\) nên \(y = 1\) là tiệm cận ngang.

\(y = {{\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{ - 2} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \((0;-1)\) cắt trục hoành tại điểm \((-1;0)\)
Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận \(I(1;1)\) làm tâm đối xứng.

b) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {{1 \over 3}} \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^ + }} y =  - \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{1 \over 3}} \right)}^ - }} y =  - \infty \) nên \(x = {1 \over 3}\) là tiệm cận đứng.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }  =  - {2 \over 3}\) nên \(y =  - {2 \over 3}\) là tiệm cận ngang.

\(y = {{\left| \matrix{
2\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr
- 3\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} = {5 \over {{{\left( {1 - 3x} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne {1 \over 3}\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right)\) và \(\left( {{1 \over 3}; + \infty } \right)\)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \((0;1)\) và cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - {1 \over 2};0} \right)\).
Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận \(I\left( {{1 \over 3};{1 \over 2}} \right)\) làm tâm đối xứng.

Bài 51 trang 49 SGK giải tích 12 nâng cao

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm \(I\) của đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

c) Tùy theo các giá trị của \(m\), hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

\({{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} + m = 0\)

Giải

a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y =  + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y =  - \infty \) nên \(x = -2\) là tiệm cận đứng.

Ta có: \(y = 2x + 1 + {2 \over {x + 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {2 \over {x + 2}} = 0\) nên \(y = 2x + 1\) là tiệm cận xiên

\(\eqalign{
& y' = 2 - {2 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{2\left[ {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 1} \right]} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \cr&= {{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1;\,\,y\left( { - 1} \right) = 1 \hfill \cr
x = - 3;\,\,y\left( { - 3} \right) = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng biến thiên:

Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 2\)

b) Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị là nghiệm của hệ.

\(\left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = 2x + 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = - 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(I\left( { - 2; - 3} \right)\)
Công thức đổi trục tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow {OI} \) là

\(\left\{ \matrix{
x = X - 2 \hfill \cr
y = Y - 3 \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& Y - 3 = 2(X - 2) + 1 + {2 \over {X - 2 + 2}} \cr
& \Leftrightarrow Y - 3 = 2X - 4 + 1 + {2 \over X} \cr
& \Leftrightarrow Y = 2X + {2 \over X} \cr} \)

Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số nhận gốc \(I\) làm tâm đối xứng.

c) Ta có: \({{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} + m = 0 \Leftrightarrow {{2{x^2} + 5x + 4} \over {x + 2}} =  - m\)
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị \((C)\) hàm số và đường thẳng \(y = -m\).
Dựa vào đồ thị ta có:
+) \(- m< -7\) hoặc \(–m>1\) \( \Leftrightarrow m > 7\) hoặc \(m< -1\) : phương trình có \(2\) nghiệm;
+) \(-m=-7\) hoặc \(–m = 1  \Leftrightarrow  m = 7\) hoặc \(m = -1\): phương trình có \(1\) nghiệm;
+) \(- 7<m< 1  \Leftrightarrow  -1 < m < 7\): phương trình vô nghiệm.

Bài 52 trang 50 SGK giải tích 12 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a) \(y = {{{x^2} - 3x + 6} \over {x - 1}}\)            b) \(y = {{2{x^2} - x + 1} \over {1 - x}}\)
c) \(y = {{2{x^2} + 3x - 3} \over {x + 2}}\)          d) \(y =  - x + 2 + {1 \over {x - 1}}\)

Giải

a) \(y =  x- 2 + {4 \over {x - 1}}\)
TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {x - 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {4 \over {x - 1}} = 0\) nên \(y = x – 2\) là tiệm cận xiên.

\(\eqalign{
& y' = 1 - {4 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 4} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr&= {{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1;\,\,\,y\left( { - 1} \right) = -5 \hfill \cr
x = 3;\,\,\,y\left( 3 \right) = 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y =  - 6\)

Đồ thị nhận giao điểm \(I(1;-1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

b) \(y = {{ - 2{x^2} + x - 1} \over {x - 1}}\)  

\(y =  - 2x - 1 - {2 \over {x - 1}}\)

TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
Tiệm cận đứng: \(x = 1\)
Tiệm cận xiên: \(y = -2x – 1\)

\(\eqalign{
& y' = - 2 + {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{ - 2{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr&= {{ - 2{x^2} + 4x} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0;\,\,\,\,\,y\left( 0 \right) = 1 \hfill \cr
x = 2;\,\,\,\,\,\,y\left( 2 \right) = - 7 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Điểm đặc biết:

\(x =  0 \Rightarrow y = 1\)

\(x =  -1 \Rightarrow y = 2\)
Đồ thị:

Đồ thị nhận \(I(1;-3)\) làm tâm đối xứng.
c) \(y = 2x - 1 - {1 \over {x + 2}}\)

• TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)
• Tiệm cận đứng: \(x = 2\)
Tiệm cận xiên: \(y = 2x -1\)
• \(y' = 2 + {1 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne  - 2\)

• Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y =  - {3 \over 2}\)

Đồ thị nhận \(I(-2; -5)\) làm tâm đối xứng.
d) \(y =  - x + 2 + {1 \over {x - 1}}\)
• TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 1 \right\}\)
• Tiệm cận đứng: \(x = 1\)
Tiệm cận xiên \(y = -x +2\)
• \(y' =  - 1 - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne 1\)

• Điểm đặc biệt: \(x = 0 \Rightarrow y = 1\)

Đồ thị nhận điểm \(I(1;-1)\) làm tâm đối xứng.

Giaibaitap.me