Bài 9 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

Giải và biện luận các phương trình

a) \({{mx - m - 3} \over {x + 1}} = 1\)

b) \(|(m + 1)x – 3 | = |x + 2|\)

c) \((mx + 1)\sqrt {x - 1}  = 0\)

Đáp án

a) Điều kiên: \(x ≠ 1\)

Ta có:

\({{mx - m - 3} \over {x + 1}} = 1 \Leftrightarrow mx - m - 3 = x + 1\)

\(\Leftrightarrow (m - 1)x = m + 4\)

+ Nếu m ≠ 1 thì \(x = {{m + 4} \over {m - 1}}\) . Nghiệm \(x = {{m + 4} \over {m - 1}}\)  nhận được:

 \( \Leftrightarrow {{m + 4} \over {m - 1}} \ne  - 1 \Leftrightarrow m + 4 \ne  1-m \Leftrightarrow m \ne  - {3 \over 2}\)

+ Nếu m = 1: phương trình vô nghiệm

Vậy:

 Với m ≠ 1  và \(m \ne  - {3 \over 2}:\,\,\,S = {\rm{\{ }}{{m + 4} \over {m - 1}}{\rm{\} }}\)

Với m = 1 hoặc \(m =  - {3 \over 2}:\,\,\,\,S = \emptyset \)

b) Ta có:

\(|(m + 1)x – 3 | = |x + 2| \)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
(m + 1)x - 3 = x + 2 \hfill \cr
(m + 1)x - 3 = - x - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx = 5 \hfill \cr
(m + 2)x = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(m = 0;\,\,S = {\rm{\{ }}{1 \over 2}{\rm{\} }}\)

+ Với m = -2; \(S = {\rm{\{  - }}{5 \over 2}{\rm{\} }}\)

+ Với m ≠ 0 và m ≠ -2 thì \(S = {\rm{\{ }}{5 \over m};\,\,{1 \over {m + 2}}{\rm{\} }}\)

c) Điều kiện: x ≥ 1

\((mx + 1)\sqrt {x - 1} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
mx + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\)

+ Với m = 0 thì phương trình (1) vô nghiệm. Do đó: S = {1}

+ Với m ≠ 0 thì (1) có nghiệm là \(x =  - {1 \over m}\) , nghiệm này nhận được:

\( \Leftrightarrow  - {1 \over m} \ge 1 \Leftrightarrow {{m + 1} \over m} \le 0 \Leftrightarrow  - 1 \le m < 0\) 

Vậy:  với m < -1 hoặc m ≥ 0 thì S = {1}

        -1 ≤ m < 0 thì \(S = {\rm{\{ }}1, - {1 \over m}{\rm{\} }}\)

Bài 10 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn các hệ thức :

x₁ + x₂ + x₁x₂=0;

m(x₁ + x₂ ) - x₁x₂ = 3m + 4

b) Xét dấu các nghiệm phương trình đó tùy theo m.

Đáp án

a) Đặt S = x₁ + x₂ và P = x₁x₂

Các điều kiện của bài toán được thể hiện qua hệ phương trình (ẩn S và P)

\(\left\{ \matrix{
S + P = 0 \hfill \cr
mS - P = 3m + 4 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S + P = 0 \hfill \cr
S(m + 1) = 3m + 4\,\,\,(1) \hfill \cr} \right.\) 

+ Khi m = -1 thì (1) vô nghiệm, nghĩa là không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.

+ Khi m ≠ -1, hệ (1) có một nghiệm \((S, P)  = ({{3m + 4} \over {m + 1}};\,{{ - 3m + 4} \over {m + 1}})\,\,\,\,(2)\)

Vậy phương trình cần tìm là:

\(\eqalign{
& {x^2} - Sx + P = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - {{3m + 4} \over {m + 1}}x - {{3m + 4} \over {m + 1}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow (m + 1){x^2} - (3m + 4)x - (3m + 4) = 0\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \) 

Điều kiện để phương trình (3) có nghiệm là:

\(\eqalign{
& \Delta = {(3m + 4)^2} + 4(m + 1)(3m + 4) \cr&= (3m + 4)(7m + 8) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m \le - {4 \over 3} \hfill \cr
m \ge - {8 \over 7} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4) \cr} \)

Tóm lại, phương trình cần tìm là phương trình (3) với điều kiện của m là m ≠ -1 và thỏa mãn (4).

b) Ta có:

\(S = - P = {{3m + 4} \over {m + 1}} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < - {4 \over 3} \hfill \cr
m > - 1 \hfill \cr} \right.\) 

Kết hợp với điều kiện (4) , ta suy ra:

+ Nếu

\(\left[ \matrix{
m < - {4 \over 3} \hfill \cr
m > - 1 \hfill \cr} \right.\)

 thì P < 0 nên (3) có hai nghiệm trái dấu

+ Nếu \(m =  - {4 \over 3}\) thì phương trình (3) có một nghiệm kép x = 0

+ Nếu \( - {8 \over 7} \le m < 1\) thì P > 0; S < 0 nên phương trình (3) có hai nghiệm âm.

+Nếu \( - {4 \over 3} < m <  - {8 \over 7}\) thì phương trình (3) vô nghiệm.

Bài 11 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

Giải và biện luận các hệ phương trình

a) 

\(\left\{ \matrix{
(m + 3)x + 2y = m \hfill \cr
(3m + 1)x + (m + 1)y = 1 \hfill \cr} \right.\)

b) 

\(\left\{ \matrix{
(2m + 3)x + 5y = m - 11 \hfill \cr
(m + 2)x + 2y = m - 2 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án

a) Ta có:

+ Nếu m ≠ 1 thì hệ có nghiệm (x, y) với:

\(\eqalign{
& x = {{{D_x}} \over D} = {{(m - 1)(m + 2)} \over {{{(m - 1)}^2}}} = {{m + 2} \over {m - 1}} \cr
& y = {{{D_y}} \over D} = {{ - 3({m^2} - 1)} \over {{{(m - 1)}^2}}} = {{ - 3(m + 1)} \over {m - 1}} \cr} \) 

+ Nếu m = 1 thì hệ thành

\(\left\{ \matrix{
4x + 2y = 1 \hfill \cr
4x + 2y = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = - 2x + {1 \over 2}\)

Hệ có vô số nghiệm \((x,\, - 2x + {1 \over 2})\) với x ∈ R

b) Ta có:

+Với \(m ≠ -4\) thì hệ có nghiệm (x, y) với:

\(\eqalign{
& x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 3(m + 4)} \over { - (m + 4)}} = 3 \cr
& y = {{{D_y}} \over D} = {{{{(m + 4)}^2}} \over { - (m + 4)}} = - m - 4 \cr} \)

+ Với \(m = -4\), hệ có vô số nghiệm với \((x; x – 3), x ∈ \mathbb R\)

Bài 12 trang 222 SGK Đại số 10 Nâng cao

Giải các hệ phương trình

a) 

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 5xy + {y^2} = 7 \hfill \cr
2x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)

b)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr
x + y + xy = 5 \hfill \cr} \right.\)

c)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} - x + y = 2 \hfill \cr
xy + x - y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án

a) Từ phương trình thứ hai của hệ, ta được \(y = 1- 2x\)

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

\(\eqalign{
& {x^2} - 5x(1 - 2x) + {(1 - 2x)^2} = 7 \cr
& \Leftrightarrow 15{x^2} - 9x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - {2 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \)

+ Với \(x = 1\) thì \(y = 1 – 2.1 = -1\)

+ Với \(x =  - {2 \over 5} \Rightarrow y = 1 - 2.( - {2 \over 5}) = {9 \over 5}\)

Vậy hệ có hai nghiệm: \((-1, 1)\) và \(( - {2 \over 5};\,{9 \over 5})\)

b) Đặt \(S = x + y; P = xy\). Ta có:

 \(\left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + S = 8 \hfill \cr 
S + P = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr 
{S^2} + 3S - 18 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 3 \hfill \cr 
P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr 
\left\{ \matrix{
S = - 6 \hfill \cr 
P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

+ Với S = 3, P = 2, hệ có nghiệm (2, 1) và (1, 2)

+ Với S = -6, P = 11 vô nghiệm do S² – 4P < 0

c) Đặt \(S = x - y; P = xy\). Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{S^2} + 2P - S = 2 \hfill \cr
P + S = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 1 - S \hfill \cr
{S^2} - 3S - 4 = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = - 1 \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = 4 \hfill \cr
P = - 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)

+ Với \(S = -1, P = 0\) thì \(x, -y\) là nghiệm phương trình:

\({X^2} + X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 0 \hfill \cr
X = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Ta có nghiệm (0, 1) và (-1, 0)

+ Với \(S = 4, P = -5: x; -y\) là nghiệm phương trình:

X² – 4X + 5 = 0 (vô nghiệm)

Giaibaitap.me