Bài 23 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \({\sin ^2}({\pi  \over 8} + \alpha ) - {\sin ^2}({\pi  \over 8} - \alpha ) = {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2\alpha\)

b) \({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}(\alpha  - {\pi  \over 3}) + {\cos ^2}({{2\pi } \over 3} - \alpha ) = {3 \over 2}\)

c) \(\tan ({\pi  \over 3} - \alpha )\tan \alpha \tan ({\pi  \over 3} + \alpha ) = \tan 3\alpha \) (khi các biểu thức có ý nghĩa)

Ứng dụng: Tính tan10⁰ tan50⁰ tan110⁰

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {\sin ^2}({\pi \over 8} + \alpha ) - {\sin ^2}({\pi \over 8} - \alpha ) \cr&= {\rm{[}}\sin ({\pi \over 8} + \alpha ) + \sin ({\pi \over 8} - \alpha ){\rm{]}}.\cr&\;\;\;\;\;{\rm{[}}\sin ({\pi \over 8} + \alpha ) - \sin ({\pi \over 8} - \alpha ){\rm{]}} \cr
& {\rm{ = (2sin}}{\pi \over 8}\cos \alpha )(2\cos {\pi \over 8}\sin \alpha ) \cr&= \sin {\pi \over 4}\sin 2\alpha = {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2\alpha \cr} \) 

b) Chú ý rằng:

\(\left\{ \matrix{
\cos {{2\pi } \over 3} = - \cos {\pi \over 3} \hfill \cr
\sin {{2\pi } \over 3} = \sin {\pi \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}(\alpha - {\pi \over 3}) + {\cos ^2}({{2\pi } \over 3} - \alpha ) \cr
& = {\cos ^2}\alpha + {(cos\alpha \cos {\pi \over 3} + \sin \alpha \sin {\pi \over 3})^2} \cr&+ {(cos{{2\pi } \over 3}\cos \alpha + \sin \alpha \sin {{2\pi } \over 3})^2} \cr
& = {\cos ^2}\alpha + 2({1 \over 4}{\cos ^2}\alpha + {3 \over 4}{\sin ^2}\alpha ) \cr
& = {3 \over 2}({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha ) = {3 \over 2} \cr} \)

c) Ta có:

\(\eqalign{
& \tan ({\pi \over 3} - \alpha )\tan \alpha \tan ({\pi \over 3} + \alpha ) \cr
& = {{\sqrt 3 - \tan \alpha } \over {1 + \sqrt 3 \tan \alpha }}\tan \alpha {{\sqrt 3 + \tan \alpha } \over {1 - \sqrt 3 \tan \alpha }} \cr
& = {{3 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr
& \tan 3\alpha = {{\tan 2\alpha + \tan \alpha } \over {1 - \tan 2\alpha .\tan \alpha }} = {{{{2\tan \alpha } \over {1 - {{\tan }^2}\alpha }} + \tan \alpha } \over {1 - {{2\tan \alpha } \over {1 - {{\tan }^2}\alpha }}\tan \alpha }}\,\, \cr
& = {{3 - {{\tan }^2}\alpha } \over {1 - 3{{\tan }^2}\alpha }}.\tan\alpha \,\,\,\,\,\,(2) \cr} \) 

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Áp dụng:

\(\eqalign{
& tan{10^0}tan{50^0}tan{110^0} \cr&= \tan ({60^0} - {50^0})\tan {50^0}\tan ({60^0} + {50^0}) \cr
& = \tan {150^0} = - \tan {30^0} = - {1 \over {\sqrt 3 }} \cr} \)

Bài 24 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) \(\sin (\alpha  + \beta )\sin (\alpha  - \beta ) = si{n^2}\alpha  - {\sin ^2}\beta  =\)

\({\cos ^2}\beta  - {\cos ^2}\alpha \)

b) \({{\tan \alpha  + tan\beta } \over {\tan \alpha  - tan\beta }} = {{\sin (\alpha  + \beta )} \over {\sin (\alpha  - \beta )}}\) (Khi các biểu thức có nghĩa)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sin (\alpha + \beta )\sin (\alpha - \beta )\cr& = (\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha ).\cr&(\sin \alpha \cos \beta - \sin \beta \cos \alpha ) \cr
& = {\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\beta - {\sin ^2}\beta {\cos ^2}\alpha \cr&= {\sin ^2}\alpha (1 - {\sin ^2}\beta ) - {\sin ^2}\beta (1 - {\sin ^2}\alpha ) \cr
& = {\sin ^2}\alpha - {\sin ^2}\beta = (1 - {\cos ^2}\alpha ) - (1 - {\cos ^2}\beta )  \cr
& = {\cos ^2}\beta - {\cos ^2}\alpha \cr} \)

Chú ý: Có thể áp dụng công thức biến tích thành tổng

b) Ta có:

\(\eqalign{
& \tan \alpha + tan\beta = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} + {{\sin \beta } \over {\cos \beta }} \cr
& = {{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha } \over {\cos \alpha \cos \beta }} = {{\sin (\alpha + \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }} \cr} \) 

Tương tự: \(\tan \alpha  - \tan \beta  = {{\sin (\alpha  - \beta )} \over {\cos \alpha \cos \beta }}\)

Do đó: \({{\tan \alpha  + tan\beta } \over {\tan \alpha  - tan\beta }} = {{\sin (\alpha  + \beta )} \over {\sin (\alpha  - \beta )}}\)

Bài 25 trang 224 SGK Đại số 10 Nâng cao

Tìm các số c và β sao cho: \(sinα + cosα =c.sin(α + β)\) với mọi α

Đáp án

Nếu có c và β  để cho sinα + cosα =c.sin(α + β) với mọi α thì khi α = 0, ta được: 1 = Csinβ

Khi \(\alpha  = {\pi  \over 2} \Rightarrow 1 = C\cos \beta \)

Từ đó: C ≠ 0; \(\sin \beta  = \cos \beta  = {1 \over C}\)

Vậy:

\(\left\{ \matrix{
\beta = {\pi \over 4} + k2\pi \,\,(k \in Z) \hfill \cr
C = \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

hoặc  

\(\left\{ \matrix{
\beta = - {{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,(k \in Z) \hfill \cr
C = - \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

Thử lại với cả hai trường hợp trên thì \(sinα + cosα =c.sin(α + β)\) với mọi \(α\)

Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:

\(\eqalign{
& \sin \alpha + \cos \alpha\cr& = \sin \alpha + \sin (\alpha + {\pi \over 2}) = 2\sin (\alpha + {\pi \over 4})cos{\pi \over 4} \cr
& = \sqrt 2 \sin (\alpha + {\pi \over 4}) \cr
& \sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha - \sin ({{3\pi } \over 2} - \alpha )\cr& = 2\cos ({{3\pi } \over 4})\sin (\alpha - {{3\pi } \over 4}) \cr
& = - \sqrt 2 \sin (\alpha - {{3\pi } \over 4}) \cr} \)

Giaibaitap.me