Câu 9 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b > 0 thì: \({{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\)
Giải
Ta có:
\(\eqalign{
& {{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\cr& \Leftrightarrow {a^3} + a{b^2} + {a^2}b + {b^3} \le 2{a^3} + 2{b^3} \cr
& \Leftrightarrow {a^3} - a{b^2} - {a^2}b + {b^3} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a - b)({a^2} - {b^2}) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(a - b)^2}(a + b) \ge 0 \cr} \)
Điều suy ra luôn đúng.
Vậy \({{a + b} \over 2}.{{{a^2} + {b^2}} \over 2} \le {{{a^3} + {b^3}} \over 2}\)
Câu 10 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
a) Chứng minh rằng, nếu \(x ≥ y ≥ 0\) thì \({x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}}\)
b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có: \({{|a - b|} \over {1 + |a - b|}} \le {{|a|} \over {1 + |a|}} + {b \over {1 + |b|}}\)
Giải
a) Với \(x ≥ y ≥ 0\) , ta có:
\(\eqalign{
& {x \over {1 + x}} \ge {y \over {1 + y}} \Leftrightarrow x(1 + y) \ge y(1 + x) \cr
& \Leftrightarrow x + xy \ge y + xy \Leftrightarrow x \ge y \cr} \)
Điều này đúng với giả thiết.
Vậy ta được điều cần phải chứng minh.
b) Vì \(|a – b| ≥ |a| + |b|\) nên theo câu a ta có:
\({{|a - b|} \over {1 + |a - b|}} \le {{|a| + |b|} \over {1 + |a| + |b|}} = {{|a|} \over {1 + |a| + |b|}} + {{|b|} \over {1 + |a| + |b|}} \le\)
\({{|a|} \over {1 + |a|}} + {{|b|} \over {1 + |b|}}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = 0\)
Câu 11 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh rằng:
a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \({a \over b} + {b \over a} \ge 2\)
b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì \({a \over b} + {b \over a} \le - 2\)
Giải
a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \({a \over b}\,;\,{b \over a}\) là hai số dương nên:
\({a \over b} + {b \over a} \ge 2\sqrt {{a \over b}.{b \over a}} = 2\) (theo bất đẳng thức Cô-si)
b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì:
\( - {a \over b} + ( - {b \over a}) \ge 2 \Leftrightarrow {a \over b} + {b \over a} \le - 2\)
Câu 12 trang 110 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = (x + 3)(5 – x)\) với \(-3 ≤ x ≤ 5\)
Giải
Vì \(-3 ≤ x ≤ 5\) nên \(x + 3 ≥ 0\) và \(5 – x ≥ 0\)
Hai số không âm nên \(x + 3\) và \(5 – x\) có tổng là: \((x + 3) + (5 – x) = 8\) không đổi
Do đó: f(x) đạt giá trị lớn nhất khi \(x + 3 = 5 – x ⇔ x = 1\)
Vậy với x = 1, f(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 16.
Vì \(f(x) ≥ 0\) nên giá trị nhỏ nhất của \(f(x) = 0\) khi \(x = -3\) hoặc \(x = 5\)
Giaibaitap.me
Giải bài tập trang 110, 112 bài 1 bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức SGK Đại số 10 nâng cao. Câu 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số...
Giải bài tập trang 112 bài 1 bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức SGK Đại số 10 nâng cao. Câu 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức...
Giải bài tập trang 116 bài 2 đại cương về bất phương trình SGK Đại số 10 nâng cao. Câu 21: Theo em, hai bất phương trình trên có tương đương không? Vì sao?...
Giải bài tập trang 121 bài 3 bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn SGK Đại số 10 nâng cao. Câu 25: Giải các bất phương trình...
