Câu 21 trang 116 SGK Đại số 10 nâng cao

Một bạn tập luận như sau: Do hai vế của bất phương trình \(\sqrt {x - 1}  < \,|x|\) luôn không âm nên bình phương hai vế ta được bất phương trình tương đương x - 1 < x^2.

Theo em, hai bất phương trình trên có tương đương không? Vì sao?

Đáp án

Không tương đương vì 0 là nghiệm của bất phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của bất phương trình thứ nhất.

Câu 22 trang 116 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau:

a) \(\sqrt x  >  - \sqrt x \)

b) \(\sqrt {x - 3}  < 1 + \sqrt {x - 3} \)

c) \(x + {1 \over {x - 3}} \ge 2 + {1 \over {x - 3}}\)

d) \({x \over {\sqrt {x - 2} }} < {2 \over {\sqrt {x - 2} }}\)

Giải

a) Điều kiện: 

\(\left\{ \matrix{
x \ge 0 \hfill \cr
- x \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 0\)

x = 0 không là nghiệm của bất phương trình.

Vậy \(S = Ø \)

b) Điều kiện: \(x ≥ 3\)

Ta có:  \(\sqrt {x - 3}  < 1 + \sqrt {x - 3}  \Leftrightarrow 0 < 1\) (luôn đúng)

Vậy \(S = [3, +∞)\)

c) Điều kiện: \(x ≥ 3\)

Ta có:

\(x + {1 \over {x - 3}} \ge 2 + {1 \over {x - 3}} \Leftrightarrow x \ge 2\)

Vậy \(S = [2, +∞) \backslash \left\{ 3 \right\} = [2, 3) ∪ (3, +∞)\)

d) Điều kiện: \(x > 2\)

Ta có:

\({x \over {\sqrt {x - 2} }} < {2 \over {\sqrt {x - 2} }} \Leftrightarrow x < 2\) (loại)

Vậy \(S = Ø\)

Câu 23 trang 116 SGK Đại số 10 nâng cao

Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình \(2x - 1 ≥ 0\).       

\(2x - 1 + {1 \over {x - 3}} \ge {1 \over {x - 3}}\) và \(2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge  - {1 \over {x + 3}}\)

Giải

Tập nghiệm của bất phương trình \(2x - 1 \ge 0\) là \(S = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty )\)

Tập nghiệm của \(2x - 1 + {1 \over {x - 3}} \ge {1 \over {x - 3}}\) là

\(S = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty )\)\(\backslash \left\{ 3 \right\}\)

Tập nghiệm của \(2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge  - {1 \over {x + 3}}\) là \(S = {\rm{[}}{1 \over 2}; + \infty )\)

Vậy \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x - 1 - {1 \over {x + 3}} \ge  - {1 \over {x + 3}}\)

Câu 24 trang 116 SGK Đại số 10 nâng cao

Trong bốn cặp bất phương trình sau đây, hãy chọn ra tất cả các cặp bất phương trình tương đương (nếu có).

a) \(x - 2 > 0\) và \(x^2(x - 2) < 0\);

b) \(x - 2 < 0\) và \(x^2(x - 2) > 0\);

c) \(x - 2 ≤0\) và \(x^2(x - 2) ≤ 0\);

d) \(x - 2 ≥ 0\) và \(x^2(x - 2) ≥ 0\).

Giải

a) Tập nghiệm của \(x – 2 > 0\) là \(S = (2, +∞)\)

Tập nghiệm của \(x^2(x – 2) < 0\) là \(S = (-∞, 2)\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Do đó: \(x – 2 > 0\) và \(x^2(x - 2) < 0\) không tương đương.

b) Tập nghiệm của \(x – 2 < 0\) là \(S = (-∞, 2)\)

Tập nghiệm của \(x^2(x - 2) > 0\) là \(S = (2, +∞)\)

Do đó: \(x – 2 < 0\) và \(x^2(x - 2) > 0\) không tương đương.

c) Tập nghiệm của \(x – 2 ≤ 0\) là \(S = (-∞, 2]\)

Tập nghiệm \(x^2(x - 2) ≤ 0\) là \(S = (-∞, 2]\)

Do đó: \(x – 2 ≤ 0\) và \(x^2(x - 2) ≤ 0\) là tương đương.

d) Tập nghiệm của \(x – 2 ≥ 0\) là \([2, +∞)\)

Tập nghiệm \(x^2(x - 2) ≥ 0\) là \([2, +∞) ∪\left\{ 0 \right\}\)

Do đó: \(x – 2 ≥ 0\) và \(x^2(x - 2) ≥ 0\) không tương đương.

Giaibaitap.me