Bài 76 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh các bất đẳng thức

a) |a + b| < |1 + ab| với |a| < 1; |b| < 1

b) \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge {1 \over 2}\) với mọi n ∈ N*

c) \({{a + b} \over {1 + a + b}} \le {a \over {1 + a}} + {b \over {1 + b}}\) với mọi a ≥ 0; b ≥ 0. Khi nào có đẳng thức?

Đáp án

a) Ta có:

 |a + b| < |1 + ab|  ⇔ (a + b)² < (1 + ab)²

⇔ a²b² – a² – b² + 1 > 0 ⇔ a²(b² – 1) – (b² – 1) > 0

⇔ (a² – 1)(b² – 1) > 0  (luôn đúng vì a² < 1 và b² < 1)

Vậy với |a| < 1; |b| < 1 thì |a + b| < |1 + ab|

b) Ta có:

\({1 \over {n + 1}} \ge {1 \over {2n}};\,\,\,{1 \over {n + 2}} \ge {1 \over {2n}};\,\,.....;\,\,{1 \over {2n}} = {1 \over {2n}}\)

Do đó:

\({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge \underbrace {{1 \over {2n}} + {1 \over {2n}} + .... + {1 \over {2n}}}_n \)
\(\Rightarrow {1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ..... + {1 \over {2n}} \ge n{1 \over {2n}} = {1 \over 2}  \)

Vậy ta được điều phải chứng minh.

c) Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên:

\({{a + b} \over {1 + a + b}} = {a \over {1 + a + b}} + {b \over {1 + a + b}} \le {a \over {1 + a}} + {b \over {1 + b}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 0

Bài 77 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0          

b) a²b² + b²c² + c²a² ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R

Khi nào có đẳng thức?

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - 2\sqrt {ab} - 2\sqrt {bc} - 2\sqrt {ca} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow (a - 2\sqrt {ab} + b) + (b - 2\sqrt {bc} + c) \cr&\;\;\;\;\;\;+ (c - 2\sqrt {ac} + a) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {(\sqrt a - \sqrt b )^2} + {(\sqrt b - \sqrt c )^2} + {(\sqrt c - \sqrt a )^2} \ge 0 \cr} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

b) Ta có:

a²b² + b²c² + c²a² ≥ abc(a + b +c)

⇔ 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² ≥ 2abc(a + b +c)

⇔ (a²b² – 2a²bc+ a²c²) + (a²c² – 2c²ab +b²c²) +(a²b² – 2b²ac +b²c²) ≥ 0

⇔  (ab – ac)² + (ac – bc)² + (ab – bc)² ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc 2 trong 3 số a, b, c = 0

Bài 78 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) \(f(x) = |x + {1 \over x}|\)

b) \(g(x) = {{{x^2} + 2} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

Đáp án

a) Vì với mọi x ≠ 0; x và \({1 \over x}\)  cùng dấu nên:

\(f(x) = |x + {1 \over x}|\, = \,|x| + {1 \over {|x|}} \ge 2\sqrt {|x|.{1 \over {|x|}}}  = 2\) với mọi x ≠ 0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(|x|\, = \,{1 \over {|x|}} \Leftrightarrow \,|x|\, = 1\, \Leftrightarrow x =  \pm 1\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) là 2.

b) Với mọi x ∈ R, ta có:

\( g(x) = {{{x^2} + 1} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \)
\(\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {{x^2} + 1} .{1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}}=2\) (theo bất đẳng thức Cô-si)

\(g(x) = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  = {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của g(x) là 2.

Bài 79 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm.

\(\left\{ \matrix{
{7 \over 6}x - {1 \over 2} \ge {{3x} \over 2} - {{13} \over 3} \hfill \cr
{m^2}x + 1 \ge {m^4} - x \hfill \cr} \right.\)

Đáp án

Ta có:

\({7 \over 6}x - {1 \over 2} \ge {{3x} \over 2} - {{13} \over 3} \Leftrightarrow 7x - 3 > 9x - 26 \Leftrightarrow x < {{23} \over 2}\)

Bất phương trình thứ hai của hệ tương đương với:

(m² + 1)x ≥ m⁴ – 1 hay x ≥ m² – 1

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

\({m^2} - 1 < {{23} \over 2} \Leftrightarrow {m^2} < {{25} \over 2} \Leftrightarrow \,|m| < {{5\sqrt 2 } \over 2} \)

\(\Leftrightarrow  - {{5\sqrt 2 } \over 2} < m < {{5\sqrt 2 } \over 2}\)

Giaibaitap.me